Romanya JBMO TST 2016 #2.2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$abc\geq 1$ koşulunu sağlayan her $a,b,c$ pozitif reelleri için


$$\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6}\leq \dfrac{1}{3}$$


olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

Her $a,b\in\mathbb{R}$ için $a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2$ sağlanır. (AGO) O halde $$LHS\leq \sum_{cyc} \frac{1}{3ab^2+6}$$ doğrudur. Bu ifade sağ taraftan küçük ise soru biter. Yani
$$\sum_{cyc} \frac{1}{3ab^2+6}\leq \frac{1}{3}\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{ab^2+2}\leq 1$$ ifadesini doğruysa ispat biter. Verilen koşuldan $ab^2\geq \frac{b}{c}$ sağlanır. O halde $$\sum_{cyc} \frac{1}{ab^2+2}\leq \sum_{cyc} \frac{c}{2c+b}$$ olmalıdır. $$\sum_{cyc} \frac{c}{2c+b} \leq 1 \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{b}{b+2c}\geq 1$$ sağlanır. Bu ise Cauchy'den doğrudur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Farklı bir çözün verelim. Paydadaki ifadeler için $a^3+b^3+1\geq 3ab$ ve $b^3+2\geq 3b$ olduğunu kullanırsak

$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}}\leq \dfrac{1}{3}\sum_{cyc}{\dfrac{1}{ab+b+1}}\leq \dfrac{1}{3}$$
$$\Longleftrightarrow 3.LHS\leq \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}\leq 1$$
olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi $abc\geq 1$ olduğunu kullanarak
$$\dfrac{1}{ab+b+1}\leq \dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+b+1}=\dfrac{c}{bc+c+1}\qquad \text{ve} \qquad \dfrac{1}{ca+a+1}\leq \dfrac{1}{ca+\dfrac{1}{bc}+1}=\dfrac{bc}{bc+c+1}$$
olduğundan
$$3.LHS\leq \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}\leq \dfrac{bc+c+1}{bc+c+1}=1$$
elde eder ve ispatı tamamlarız.