$\dfrac{p} {x} +\dfrac{q} {y} =1$ denklemi

[alpercay]

$p$ ve $q$ asal sayıları veriliyor. $$\dfrac{p} {x} +\dfrac{q} {y} =1$$ denklemini sağlayan $(x, y) $ pozitif tamsayısı ikililerini bulun

[geo]

$qx+py=xy \Longrightarrow pq = xy - qx-py+ pq = x(y-q) -p(y-q)=(x-p)(y-q)$

$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x-p & y-q & x & y \\
\hline
1 & 1 & pq  & p+1 & pq +q \\
2 & p & q & 2p & 2q \\
3 & q & p & p+q & p+q \\
4 & pq & 1 & pq+p & q+1\\
5 & -1 & -pq  & p-1 & -pq +q \\
6 & -p & -q & 0 & 0 \\
7 & -q & -p & p-q & q-p \\
8 & -pq & -1 & -pq+p & q-1\\
\end{array}$

Paydayı tanımsız yapacağı için $(6)$ sağlamaz.
$pq>q$ olduğu için $y<0$. Dolayısıyla $(5)$ de sağlamaz.
$pq>p$ olduğu için $x<0$. Dolayısıyla $( 8 )$ de sağlamaz.
$(7)$ için $p\neq q$ durumunda $x$ ya da $y$ den biri negatif olacağından çözüm gelmez. $p=q$ durumunda $p-q=0$ olacağı payda tanımsız olur.

O halde pozitif sayılarda sadece $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ durumlarından en fazla $4$ çözüm gelir. $p=q$ durumunda çözüm sayısı $3$ e düşer.