Güvenli Asal Sayılar

[geo]

$p,q,r$ sayıları $p=2q+r-1$ eşitliğini sağlayan asal sayılar olmak üzere; $p$ nin $12$ ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalanların sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[geo]

Cevap: $\boxed {(c) \ 3}$

$r>2$ ise $r=2k+1$ olacağından $p=2q+r-1=2q+2k=2(q+k)$ olacağı için çözüm gelmez.

$r=2$ için $p=2q+1$ olacaktır.
İlk birkaç $q$ değeri için çözümleri yazalım.
$q=2, p=5$,
$q=3, p=7$,
$q=5, p=11$,
$q=11, p=23$

$q>3$ olsun ve eşitliği $\bmod 6$ da inceleyelim.
$q=6k, 6k+2, 6k+4$ çift sayı oldukları için sağlamaz. $q=6k+3$ sayısı $3$ ile bölündüğü için sağlamaz.
$q=6k+1$ i yerine yazarsak $p=2q+1=12k+3=3(4k+1)$  $3$ ile bölündüğü için sağlamaz
O halde geriye sadece $q=6k+5$ şeklinde asal sayılar kalır. Yerine yazarsak $p=2q+1=12k+11$ elde ederiz.
O halde $p \equiv 5, 7, 11 \pmod {12}$ olabilir.

Not:
$p,q$; $p=2q+1$ şeklindeki asal sayılar olmak üzere $q$ sayısına Sophie Germain asalı, $p$ sayısına da güvenli asal denir.
bkz. Sophie Germain Asalları