Gönderen Konu: Binom Dağılımından Normal Dağılıma 1  (Okunma sayısı 4720 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Binom Dağılımından Normal Dağılıma 1
« : Mart 30, 2024, 03:27:18 ös »
Soru (Lokman Gökçe): Standart normal dağılıma sahip $Z$ rassal değişkeni için bazı $z$ puanlarına ait $P(Z \leq z)$ olasılık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
z & P(Z \leq z) \\
\hline
0 & 0,5000 \\
\hline
0,5 & 0,6915 \\
\hline
1 & 0,8413 \\
\hline
1,5 & 0,9332 \\
\hline
2 & 0,9772 \\
\hline
2,5 & 0,9938 \\
\hline
3 & 0,9987 \\
\hline
\end{array}
$$

Hilesiz bir zar $720$ kez atılıyor. Üst yüzüne en çok $105$ defa $3$ gelmesi olasılığı aşağıdakilerden hangisine daha yakındır?

$
\textbf{a)}\ 0,0668
\qquad\textbf{b)}\ 0,0968
\qquad\textbf{c)}\ 0,1587
\qquad\textbf{d)}\ 0,1841
\qquad\textbf{e)}\ 0,2119
$
« Son Düzenleme: Mart 30, 2024, 03:29:34 ös Gönderen: Lokman Gökçe »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Binom Dağılımından Normal Dağılıma 1
« Yanıtla #1 : Nisan 25, 2024, 12:08:45 öö »
Yanıt: $\boxed{A}$

Bu bir binom dağılımı olup $n=720$ deneme için, dağılım fonksiyonu normal dağılıma yaklaşır.
Zarın üst yüzüne $3$ gelmesi olasılığı $p=\dfrac{1}{6}$, $3$ gelmemesi olasılığı $q = \dfrac{5}{6}$
Beklenen değer $\mu = np = 720\cdot \dfrac{1}{6} = 120$
Varyans $\sigma^2 = npq = 720\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6} = 100$
Standart sapma $\sigma = \sqrt{100} = 10$

olur. Problemde istenen olasılık $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ olur. $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ z-puanı dönüşümünü kullanırsak $X=105$ için $Z=-1,5$ bulunur. Böylece istenen olasılık yaklaşık olarak $\text{N}(Z\leq -1,5)$ tir.

$\text{N}(Z\leq -1,5) = \text{N}(Z\geq 1,5) = 1 - \text{N}(Z\leq 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668$  elde edilir.



Not: $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ için daha hassas bir hesaplama yapmak istersek $X=105,5$ düzeltme değerini kullanarak daha doğru bir sonuca ulaşabiliriz. Bu halde $\text{N}(Z\leq -1,45)$ değerine ihtiyaç vardır. Hesaplama programları veya z-cetveli kullanılarak $\text{N}(Z\leq -1,45) =  0,073529$ olur.

Öte yandan, problemin tam yanıtı için binom dağılımını kullanmalıyız. $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6}) \approx 0,0717$ dir. $0,0668$ değeri, $0,0717$ gerçek değerine diğer seçeneklerden daha yakındır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal