Genelleştirilmiş USAMO 1997 #5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
Her $a_1,a_2,\cdots,a_n$ pozitif reelleri için


$$\sum_{cyc- j}{\dfrac{1}{a_j^{n}+a_{j+1}^n+\cdots+a_{j-2}^n+\prod{a_1}}}\leq  \dfrac{1}{\prod{a_1}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Muirhead Eşitsizliği'ni kullanacak olursak

$$a_1^n+a_{2}^n+\cdots+a_{n-1}^n\geq \sum_{sym}{a_1^2a_2\cdots a_{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}{a_k}\left(\sum_{k=1}^{n-1}{a_k}\right)$$
olduğu söylenebilir. Buna göre

$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_{n-1}^n+\prod\limits_{cyc}{a_1}}}\leq \sum_{cyc}{\dfrac{1}{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{a_k}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{a_k}\right)+\prod\limits_{cyc}{a_1}}}=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\prod\limits_{k=1}^{n-1}{a_k}\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)}}=$$
$$\dfrac{\sum\limits_{cyc}{a_1}}{\prod\limits_{cyc}{a_1}\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)}=\dfrac{1}{\prod\limits_{cyc}{a_1}}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.