Çok bilinen ve Geomaniada olması gerektiğini düşündüğüm bu sorunun bildiğim çözümü şu şekilde:
Başlangıçta $1$ bölge var. Çokgenin her bir köşegeni çizildiğinde bölge sayısının $1$ arttığını gözlemleyebiliriz. Ayrıca iki köşegen birbirini kestiğinde de bölge sayısı yine $1$ artar. Maksimum bölge sayısını hesaplayacaksak iki köşegenin kesim noktasından başka köşegen geçmediğini varsayalım. Bu durumda bölge sayısı $$1+C(n,2)-n+C(n,4)$$ olarak bulunur.
Bir çember üzerinde sırası ile $1,2,3,..$ nokta alınıp bunların ikişer ikişer birleştirilmesiyle çemberin kaç bölgeye ayrıldığı sorulsaydı (örüntü $1,2,4,8,16,...$ diye devam ediyor ama $6$ nokta için beklenen değer gelmiyor. Örüntüye güven olmaz yani) bölge sayısı çember ve kirişler arasında oluşan bölgelerle $n$ kadar daha artacağından istenen yanıt $$1+C(n,2)+C(n,4)$$ veya açık olarak $$\dfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n+24}{24}$$ olurdu.
