$v_p(k)$ ile $k$'yı bölen $p$'nin en büyük kuvvetinin üssünü gösterelim.
$a)$ $(a,b)$ çifti için mümkün olduğunu kabul edelim. Örnek bulmaya çalışalım. $a^n-b^n$'nin tam olarak son $1$ basamağı $0$ olsun. $v_2(a^n-b^n)=1$ veya $v_5(a^n-b^n)=1$ olacaktır, ayrıca iki ifade de $0$'dan büyüktür. $m$, çift bir tamsayı olmak üzere $k=mn$ olsun. $$v_5(a^k-b^k)=v_5(a^n-b^n)+v_5(m)$$ olacaktır. $$v_2(a^k-b^k)=v_2(a^n+b^n)+v_2(a^n-b^n)+v_2(m)-1$$ olacaktır. Eğer $v_5(a^n-b^n)\leq 2024$ ise $v_2(m)=2024$ ve $v_5(m)=2024-v_5(a^n-b^n)$ seçelim. Örneğin $m=2^{2024}\cdot 5^{2024-v_5(a^n-b^n)}$ seçebiliriz. Bu durumda $v_2(a^k-b^k)\geq 2024$ ve $v_5(a^k-b^k)=2024$ olacağından $a^k-b^k$'nın tam olarak son $2024$ basamağı $0$ olacaktır. Yani $(a,b)$'nin $2024.$ dereceden iyi kuvveti vardır.
$v_5(a^n-b^n)>2024$ olmalıdır, yani $v_2(a^n-b^n)=1$'dir. $m$ çift bir sayı olmak üzere $k=mn$ olsun. $v_5(a^k-b^k)=v_5(a^n-b^n)+v_5(m)>2024$ olacağından $$v_2(a^k-b^k)=v_2(a^n+b^n)+v_2(a^n-b^n)+v_2(m)-1=v_2(a^n+b^n)+v_2(m)=2024$$ olmaması gerekmektedir. $v_2(a^n+b^n)<2024$ ise $v_2(m)=2024-v_2(a^n+b^n)$ için çelişki elde edilecektir. Dolayısıyla, iyi kuvvetinin olmamasını sağlayan bir $(a,b)$ çifti için $v_5(a^n-b^n)>2024$ ve $v_2(a^n+b^n)\geq 2024$ olmalıdır.
$n$ çift olursa, $v_2(a^n+b^n)=1$ olacağından $n$ tektir. $n$ tek olduğundan $v_2(a^n+b^n)=v_2(a+b)$'dir. $n=1$ için örnek bulmaya çalışalım. $2\cdot 5^{2025}\mid a-b$ ve $2^{2024}\mid a+b$ olacaktır ($a+b$ çift olduğundan $a-b$ de çifttir). $a+b>a-b$ olduğundan $a-b=2\cdot 5^{2025}$ ve $a+b=10^{2025}$ seçebiliriz. Bu durumda $(a,b)=((2^{2024}+1)5^{2025},(2^{2024}-1)5^{2025})$ olacaktır. Bu ikili için $a^1-b^1$'in tam olarak son bir basamağı $0$ olacaktır. Tek $k$ tamsayıları için $v_2(a^k-b^k)=v_2(a-b)=1$ ve çift $k$ tamsayıları için $$v_2(a^k-b^k)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(k)-1\geq v_2(a+b)>2024$$ $$v_5(a^k-b^k)=v_5(a-b)+v_5(k)\geq v_5(a-b)>2024$$ olduğundan $a^k-b^k$'nın sonunda tam olarak $2024$ tane sıfır olamaz.
$b)$ $(a,b)=(10^{2024}+1,1)$ seçilirse, $a-b\mid a^k-b^k$ olduğundan $10^{2024}\mid a^k-b^k$ olacaktır. Dolayısıyla, bu ikili için $a^k-b^k$'nın sondan sadece $1$ basamağı sıfır olamaz, en az $2024$ basamağı $0$'dır.
