Cevap: $\boxed{D}$
$n=10m+a$ olduğu barizdir. $n$'nin tamkare olduğunu da not alalım. $n$ sayısı bir basamaklı olamaz çünkü bu durumda $m=0$ ve $a=(a+2)^2$ elde edilir.
Eğer $a\geq m$ ise $m$ de bir basamaklıdır. Dolayısıyla $n$ en fazla $2$ basamaklı olabilir. Birler basamağı, onlar basamağından büyük olan iki basamaklı tamkareler; $16,25,36,49$'dir. Bunlardan sadece $25$ ve $49$ istenileni sağlar.
Eğer $m>a$ ise $m=a+k$ olacak şekilde bir pozitif $k$ tamsayısı vardır. Yerine yazarsak, $$10(a+k)+a=(k+2)^2\implies 11a=k^2-6k+4$$ olacaktır. $$k^2-6k+4\equiv 0\pmod{11}\implies (k-3)^2\equiv 5\equiv 16\pmod{11}\implies k\equiv 3\pm 4\equiv 7,10\pmod{11}$$ elde edilir. Ayrıca $a$ sayısı $1$ basamaklı olduğundan $a\leq 9$'dur. Buradan $$k^2-6k+4=11a\leq 99\implies (k-3)^2\leq 104\implies (k-3)^2\leq 10^2$$ $$\implies k-3\in [-10,10]\implies k\in [-7,13]$$ bulunur. $k\equiv 7,10\pmod{11}$ ve $k>0$ olduğundan $k=7$ veya $k=10$ olmalıdır. Bunları yerine yazınca gelen çözümler ise $(m,a)=(8,1),(14,4)$'dür. Yani $n=81$ ve $n=144$ istenileni sağlar.
Şartı sağlayan tüm $n$ pozitif tamsayıları $\boxed{n=25,49,81,144}$ bulunur.
