İlginç bir şekilde bu limit,
Kısmi toplam sorusunda bahsettiğim "The Prime Number Theorem" ile alakalıdır. Eğer $[1,2,\dots,n]$'i bir fonksiyon gibi düşünüp, nasıl değiştiğini incelersek, $n$'nin bir asal sayının kuvveti olmadığı durumlarda $1<a\leq b<n$ ve $n=ab$ olarak ayrılabileceğinden $[1,2,\dots, n]=[1,2,\dots, n-1]$ olacaktır. Eğer $n=p^k$ formatında ise eğer, $p^{k-1}$ hali hazırda $1,2,\dots, n-1$'in içinde olduğundan, sadece bir tane $p$ çarpanı eklenecektir. Yani $[1,2,\dots,n]=p[1,2,\dots,n-1]$ olacaktır. $$\frac{[1,2,\dots,n]}{[1,2,\dots,n-1]}=\begin{cases}p,\quad \text{eğer } n=p^k\\ 1,\quad \text{diğer durumlarda} \end{cases}$$ veya bu ifadenin logaritmasına bakarsak, $$\ln{[1,2,\dots,n]}-\ln{[1,2,\dots,n-1]}=\begin{cases}\ln p,\quad \text{eğer } n=p^k\\ 0,\quad \text{diğer durumlarda} \end{cases}$$ olur ki bu da aslında Von Mangoldt fonksiyonudur ve $\Lambda(n)$ ile gösterilir. Eğer teleskopik toplam olarak $\ln{[1,2,\dots,n]}$ ifadesini hesaplarsak, $$\ln[1,2,\dots,n]=\sum_{p^k\leq n} \ln{p}=\sum_{k=1}^{n}\Lambda(k)$$ olur. Bu fonksiyon da
Kısmi toplam sorusunda tanımladığımız ilk fonksiyonun biraz farklı halidir. Hatta, o sorudaki fonksiyon birinci Chebyshev fonksiyonu olarak adlandırılırken, bu fonksiyon ikinci Chebyshev fonksiyonu olarak bilinir. Diğer soruda birincil Chebyshev fonksiyonunu $\varphi(x)$ ile göstermiş olsak da karışıklık olmaması için, orijinal notasyonlar olan, birincili $\vartheta$ ile, ikincili $\psi$ ile göstereceğiz. Verilen limit de yaptığımız düzenleme sonucunda $$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1$$ haline gelmiştir. Bariz şekilde $\psi(x)\geq \vartheta(x)$'dir. Ayrıca $$\psi(x)=\sum_{n\leq \log_2{x}}\vartheta\left(x^{\frac{1}{n}}\right)$$ olarak yazabiliriz. Buradan, $$0\leq \psi(x)-\vartheta(x)\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2{x}}\vartheta\left(x^{\frac{1}{n}}\right)$$ elde edilir. $\vartheta(x)$'in tanımından $\vartheta(x)\leq x\ln{x}$ olduğu barizdir, buradan da $$0\leq \psi(x)-\vartheta(x)\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2{x}}\vartheta\left(x^{\frac{1}{n}}\right)\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2{x}} x^{\frac{1}{n}}\ln{x^{\frac{1}{n}}}$$ $$\leq x^{\frac{1}{2}}\ln{x^{\frac{1}{2}}}\log_2(x)=\frac{\sqrt{x}(\ln{x})^2}{2\ln 2}$$ bulunur. Sandviç (veya sıkıştırma) teoreminden $$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)=0$$ elde edilir. Yani verilen limitin doğruluğu $$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\vartheta(x)}{x}=1$$ olmasıyla denktir.
Kısmi toplam sorusunda da bahsettiğim gibi bu da prime number theorem ile denktir. Bu limitin doğruluğunu da başka bir gönderide paylaşacağım.
Kaynak: Bu iletiyi hazırlarken normalde sadece
Wikipedia-Chebyshev function kısmına bakmıştım. Ancak daha sonra
math.stackexchange sitesindeki aynı soruya verilen cevabın, benim giriş kısmımla aynı olduğunu gördüm. Merak edenler o çözümü de inceleyebilir.
