Türkiye Olympic Revenge Shortlist 2023 #A.1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=6$ ise


$$\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq 6$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Her iki tarafın karesi alındığında Cauchy-Schwarz ile
$$LHS^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sum_{cyc}{\sqrt{\left(b^2+b^2+b^2+a^2\right)\left(b^2+c^2+c^2+c^2\right)}}$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} 4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sum_{cyc}{\left(b^2+2bc+ac\right)}=6\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)=36$$
olarak elde edilir ve ispat biter. Cauchy-Schwarz kısmında
$$\sum_{cyc}{\sqrt{\left(3b^2+a^2\right)\left(3c^2+b^2\right)}}\geq \sum_{cyc}{\left(3bc+ab\right)}$$
şeklinde bir işlem uygulanmış olsaydı eşitsizlik zayıf kalacaktır, zira eşitsizliğin sonucu $ab+bc+ca\geq 3$ ifadesine çıkar, ki bu ifade yanlıştır. Bu da uygulanan Cauchy-Schwarz'ın zayıf olduğunu gösterir.