$a)$ "$\implies$" kısmını ispatlayalım. Verilen denkliğin çözümünün olduğunu varsayalım. Çözüm olan $x$ değerinin $p$ ile aralarında asal olduğu barizdir. $x$'in mertebesi $d$ olsun. $$x^{2^n}\equiv -1\pmod{p}\implies d\not\mid 2^n$$ $$x^{2^{n+1}}\equiv (-1)^2\equiv 1\pmod{p}\implies d\mid 2^{n+1}$$ olacaktır. $d$, $2$'nin kuvveti olmalıdır ancak $d\not\mid 2^n$ olduğundan $d=2^{n+1}$ olacaktır. Ayrıca $d\mid p-1$ olduğundan $$2^{n+1}\mid p-1$$ bulunur.
"$\Longleftarrow$" kısmını ispatlayalım. $p$ asal olduğundan $p$ modunda bir $g$ ilkel kökü vardır. $2^{n+1}\mid p-1$ olduğundan $2^{n+1}a=p-1$ olacak şekilde bir $a$ tamsayısı vardır. $t=g^a$ olarak tanımlarsak, $t$'nin mertebesi $2^{n+1}$ olacaktır. Yani $$t^{2^{n+1}}-1\equiv 0\pmod{p}\implies \left(t^{2^n}-1\right)\left(t^{2^n}+1\right)\equiv 0\pmod{p}$$ olacaktır. $t$'nin mertebesi $2^{n+1}$ olduğundan $t^{2^n}\not\equiv 1\pmod{p}$ olacaktır. Dolayısıyla $$t^{2^n}\equiv -1\pmod{p}$$ bulunur. Dolayısıyla $t=g^a$ değeri verilen denkliğin bir çözümüdür.
$b)$ $n=1$ için soru, sonsuz asal sayı olmasına dönüşür. Bunun birçok ispatı vardır. Bunun için ek bir ispat vermeyeceğim. $n\geq 2$ için aksini varsayalım ve $p\equiv 1\pmod{2^n}$ olan sonlu sayıda asal sayı olsun. Öncelikle en az $1$ tane bu formatta asal sayı olduğunu göstermeliyiz. $a$ kısmından $2^{2^{n-1}}+1$ sayısının asal böleni $2^{n}k+1$ formatında olduğundan $2^nk+1$ formatında en az bir asal sayı vardır.
$p_1,p_2,\dots,p_m$ asalları $2^nk+1$ formatındaki tüm asallar olsun. $$N=(2p_1p_2\cdots p_m)^{2^{n-1}}+1$$ sayısını tanımlayalım. $N$ tek sayıdır ve $1$'den büyüktür. $N$'nin bir asal böleni olan $q$'u alalım, $(p_i,q)=1$ olduğundan $q$ asalı $2^nk+1$ formatında değildir. Ancak $$q\mid N\implies (2p_1p_2\cdots p_m)^{2^{n-1}}\equiv -1\pmod{q}\implies 2^{n}\mid q-1$$ olur ancak $q$ asalı $2^nk+1$ formatında olmadığından çelişki elde edilir. Sonsuz sayıda $p\equiv 1\pmod{2^n}$ formatındaki asal bulunmalıdır.
