$7^n-1$'in asal bölenlerinin sayısı

[Metin Can Aydemir]

Her $n\geq 3$ pozitif tamsayısı için $7^n-1$'in en az $3$ tane asal böleni olduğunu gösteriniz. (Metin Can Aydemir)

[Lokman Gökçe]

Tamamen çözmedim ama bazı gözlemlerimi not düşebilirim:

$7^n - 1 = (7-1)(7^{n-1} + 7^{n-2} + \cdots + 7 + 1)$ biçiminde yazılırsa $7-1 = 6$ sayısı hem $2$ hem de $3$ ile bölünebilir. Şimdi üçüncü ve ($2$ ile $3$ ten) farklı bir çarpan daha olduğunu göstermeliyiz. Burada $2$ ile $3$ gibi sabit bir çarpan aramalı mıyız? Bunun için,

$7^3 - 1 = 342 = 2\cdot 3^2 \cdot 19$

$7^5 - 1 = 16806 = 2\cdot 3 \cdot 2801$

incelemelerini yaparsak $19$ ve $2801$ asal sayıları geldiğini görüyoruz. Özellikle $2801$ asal çarpanını gördükten sonra sabit asal çarpan arama yolunun mantıklı olmadığını anlıyoruz.

Diğer taraftan $n=4k$, $k\in \mathbb Z ^+$ biçimindeki $n$ değerleri için $7^n - 1 = (7^4)^k - 1 \equiv (2^4)^k - 1 \equiv 0 \pmod{5}$ olup $5\mid 7^n - 1$ bulunur.


Belki $n\geq 3$ sayısının bazı formlarını inceleyerek, $7^n - 1 = 2^a 3^b$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümünün olmadığını göstermeyi düşünebiliriz. Bunu göstermek problemimizi çözecektir. Müsait olursam ve çözümü tamamlarsam buradan devam ederim. Çözüm-fikir bulan arkadaşlarımızın da katkılarını bekleriz 

[Metin Can Aydemir]

Çözüm 1: $7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+7^{n-2}+\cdots+7+1)$ olduğundan $6\mid 7^n-1$'dir. Dolayısıyla, her $n$ için $2$ ve $3$ asalları $7^n-1$'i böler. Eğer $7^n-1$'in $3$ veya daha fazla asal böleni yoksa $2^a3^b$ formatında olmalıdır. Şimdi $7^n-1=2^a3^b$ denklemini çözelim.

Eğer $n$ tekse $$7^n-1\equiv (-1)^n-1\equiv 2\pmod{4}\implies a=1$$ olacaktır. $v_p(m)$ ile $m$'yi bölen en büyük $p$ kuvvetinin üssünü gösterelim, örneğin $v_3(54)=3$'dür. Kuvvet kaldırma (LTE) teoreminden $3\mid 7-1$ olduğundan $$v_3(7^n-1)=v_3(7-1)+v_3(n)\implies v_3(n)=b-1$$ bulunur. Dolayısıyla $n\geq 3^{b-1}$'dir. Eğer $3^{b-1}=A$ dersek, $$2\cdot 3^{b}=6A=7^n-1\geq 7^A-1\implies 6A+1\geq 7^A$$ bulunur. Üstel fonksiyon, lineere göre çok hızlı arttığından $A\geq 2$ için eşitsizlik bozulur. $A=1$ ve $b=1$ olabilir. Bu durumda $(a,b,n)=(1,1,1)$ bulunur.

Eğer $n$ çiftse $2\mid 7-1$ olduğundan, kuvvet kaydırma teoreminden, $$a=v_2(7^n-1)=v_2(7-1)+v_2(7+1)+v_2(n)-1=v_2(n)+3\implies v_2(n)=a-3$$ Önceki durumda bulduğumuz gibi aynı zamanda $v_3(n)=b-1$ olduğundan $n\geq 2^{a-3}3^{b-1}$ olmalıdır. $2^{a-3}3^{b-1}=B$ dersek, $$2^a3^b=24B=7^n-1\geq 7^B-1\implies 24B+1\geq 7^B$$ elde edilir. Bu eşitsizlik de $B\geq 3$ için bozulacağından $B=1$ veya $B=2$'dir. $B=1$ durumunda $(a,b)=(3,1)$ bulunur fakat çözüm gelmez. $B=2$ durumunda ise $(a,b)=(4,1)$ olacaktır. Bu durumda da $n=2$ bulunur. Yani $(a,b,n)=(4,1,2)$'dir.

Tüm çözümler $(a,b,n)=(1,1,1)$ ve $(4,1,2)$ olduğundan $n\geq 3$ için çözüm yoktur. Dolayısıyla $n\geq 3$ için $7^n-1$'in $2$ ve $3$'ten farklı en az bir asal böleni daha olmalıdır.

[Metin Can Aydemir]

Çözüm 2: $2$ ve $3$'ün her zaman $7^n-1$'i böldüğünü görmek kolaydır. Şimdi $n\geq 3$ için $7^n-1$'in $2$ ve $3$'ten farklı bir asal böleni olduğunu gösterelim. $n\geq 3$ olduğundan $n$'nin ya tek bir asal böleni vardır ya da $4$ ile bölünüyordur. Eğer $4$ ile bölünüyorsa küçük fermat teoreminden $$7^n-1\equiv 0\pmod{5}$$ olacağından $2,3,5$ asalları $7^n-1$'i böler.

Eğer $4\not\mid n$ ise $n$'nin tek bir asal böleni vardır. Bu asal bölen $q\geq 3$ olsun. $7^q-1\mid 7^n-1$ olacağından $7^q-1$'in $2$ ve $3$'ten farklı asal böleni olduğunu göstermemiz yeterlidir. $q=3$ için $19\mid 7^3-1$ olduğundan $q\geq 5$ için incelememiz yeterlidir.

$7^q-1$ ifadesini açarsak, $$7^q-1=(7-1)(7^{q-1}+7^{q-2}+\dots+7+1)$$ olacaktır. $7-1=6$ çarpanını kenara alalım. Diğer çarpanı inceleyelim, $$7^{q-1}+7^{q-2}+\dots+7+1\equiv 1+1+\cdots+1\equiv q\pmod{6}$$ olduğundan bu ifade $6$ ile aralarında asaldır. Yani bu ifadeden $2$ veya $3$ asalları gelemez. Bu çarpan bariz şekilde $1$'den büyük olduğundan $2$ ve $3$'ten farklı bir asal böleni vardır. Bu asal bölen de $7^n-1$'i böldüğünden $7^n-1$'in en az $3$ farklı asal böleni vardır.