$2^n+3^n$'nin asal bölenlerinin sayısı

[Metin Can Aydemir]

$n$ pozitif tamsayısı için $2^n+3^n$'nin sadece $1$ tane asal böleni varsa, $n$'nin farklı asal bölenlerinin sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz. (Metin Can Aydemir)

[Metin Can Aydemir]

Asal bölen sayısını $w(n)$ ile gösterelim.

$n=1$ için $2^1+3^1=5$ olduğundan $w(n)=0$ olabilir.

$n=2$ için $2^2+3^2=13$ olduğundan $w(n)=1$ olabilir.

$w(n)\geq 2$ olamayacağını gösterelim. Aksini varsayalım ve $w(n)\geq 2$ olan bir $n$ için $w(2^n+3^n)=1$ olsun. $n$'nin en az bir tane tek asal böleni vardır. Bu bölen $q$ olsun ve $k\geq 1$ ve $p$ asalı için $2^n+3^n=p^k$ olsun. $n=qm$ yazarsak, $$2^m+3^m\mid \left(2^{m}\right)^q+\left(3^{m}\right)^q\implies p\mid 2^m+3^m$$ olacaktır çünkü $2^m+3^m>1$'dir. Bariz bir şekilde $p\not\mid 2^m,3^m$'dir. Kuvvet kaydırma teoreminden $$v_p(2^n+3^n)=v_p(2^m+3^m)+v_p(q)$$ olacaktır. Eğer $p\neq q$ ise $v_p(2^n+3^n)=v_p(2^m+3^m)$ olur ancak bu durumda $2^n+3^n=2^m+3^m$ olmalıdır. Fakat bariz bir şekilde $2^n+3^n>2^m+3^m$ olması gerektiğinden, bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $p=q$ olmalıdır. Yani $v_p(2^m+3^m)=k-1$'dir. $2^m+3^m\mid p^k$ olduğundan ve $v_p(2^m+3^m)=k-1$ olduğundan $2^m+3^m=p^{k-1}$ olmalıdır. Buradan da $$\left(2^m+3^m\right)^p=p^k=2^{mp}+3^{mp}$$ bulunur. Bu da bir çelişkidir çünkü binom açılımı ile $\left(2^m+3^m\right)^p$ ifadesi açılırsa, $2^{mp}+3^{mp}$'den büyük olduğu görülebilir. Dolayısıyla $w(n)\geq 2$ olamaz. $\boxed{w(n)=0,1}$ olabilir.

Not 1: Eğer çözüm incelenirse, $2$ ve $3$ sayılarının kullanılmasının çok önemli olmadığı görülebilir. Dolayısıyla $a$ ile $b$ üzerine ufak koşullar konularak soru $a^n+b^n$ için genelleştirilebilir.

Not 2: Yine çözüm dikkatli incelenirse, $n$'nin $2$ tane asal böleni olmasından ziyade, tek asal böleni olması çelişki doğurmuştur. Dolayısıyla $n\geq 2$ için $n$'nin tek asal böleni $2$ olmalıdır.

Not 3: İspatını bitiremediğim için soruyu bu şekilde sordum ama büyük olasılıkla $2^n+3^n$'nin bir asal sayının kuvveti olmasını sağlayan tüm $n$ değerleri $1,2,4$'dür.

[AtakanCİCEK]

Not: Metin Can Aydemir'in ulaştığı Not$2$ deki sonuca ben de farklı şekilde ulaşmışım aslında  başta fark etmedim. Ama Bang Zsigmondy $2,3$ yerine tüm $a,b$ sayılarına genellediği için $($a=2,b=1,n=3$ tek istisnaydı sanırım) bırakmak istedim.
Not3: de verilen durumu tamamlamaya çalışalım. $n$ tek sayı ise $5|(2^n+3^n)$ olduğu görülebilir. Ayrıca Bang Zsigmondy Teoremi'nden $a^{2n}-b^{2n}=(a^n-b^n)(a^n+b^n)$ olduğundan ve Teorem gereği $a^{2n}-b^{2n}$  ifadesinde $a^n-b^n$  de bulunmayan bir asal bulunması gerektiğinden bu primitif asal $p$ sayısı $a^n+b^n$ i bölmelidir.  Bu $5$ asalımız $a^n+b^n$  ifadesini her tek $n$ durumunda böldüğü için primitif asal olamaz ve dolayısıyla en az $2$ asal çarpan içerir.  ($n=1$ istisna burada.)  (Aslında burada başta yaptığım $5|2^n+3^n $ garantisi olmadan da sonuca varabilirdik.

 Buradan yola çıkarak $n=2^t.m$  , $m \geq 1$  ve $m>1$ olsun. Bu durumda $2^{2^t}=A$ ve $3^{2^t}=B$ dönüşümleri yaparsak  ifademiz $A^m+B^m$ olur. $A\geq 4$ ve $B\geq 9$  olduğuna göre Bang Zsigmondy Teoremi'nin sonucuna göre $A+B$ de bulunmayan ama $A^m+B^m$  de bulunan bir primitif asal $p$  sayısı vardır. Ve $A+B$ ifadesi  $1$  den büyük olduğu için en az bir asal bölen içermek zorundadır. Bu nedenle denklemin yine en az iki asal böleni bulunmalıdır.

$n=2^t$  , $t\geq 1$ formatında olmalıdır. Ancak burdan sonra devamını getiremedim. 

Ek olarak zsigmondy teoremi ne göre tek n sayıları için $n>1$ için sadece $2^3+1^3 =3^2$  mümkün sanırım sadece

[Metin Can Aydemir]

$n=2^t$  , $t\geq 1$ formatında olmalıdır. Ancak burdan sonra devamını getiremedim.

Belki $p^k=2^{2^t}+3^{2^t}$'nin özel bir çözüm yolu vardır ancak önsezisel düşünürsek bu sorunun zorluğunun "$F_n=2^{2^n}+1$ formatındaki Fermat sayılarının $n\geq 5$ için asal olmayacağı" ile benzer zorlukta olmasını bekleyebiliriz. Bu yüzden çözememek çok doğal bence