Asal bölen sayısını $w(n)$ ile gösterelim.
$n=1$ için $2^1+3^1=5$ olduğundan $w(n)=0$ olabilir.
$n=2$ için $2^2+3^2=13$ olduğundan $w(n)=1$ olabilir.
$w(n)\geq 2$ olamayacağını gösterelim. Aksini varsayalım ve $w(n)\geq 2$ olan bir $n$ için $w(2^n+3^n)=1$ olsun. $n$'nin en az bir tane tek asal böleni vardır. Bu bölen $q$ olsun ve $k\geq 1$ ve $p$ asalı için $2^n+3^n=p^k$ olsun. $n=qm$ yazarsak, $$2^m+3^m\mid \left(2^{m}\right)^q+\left(3^{m}\right)^q\implies p\mid 2^m+3^m$$ olacaktır çünkü $2^m+3^m>1$'dir. Bariz bir şekilde $p\not\mid 2^m,3^m$'dir. Kuvvet kaydırma teoreminden $$v_p(2^n+3^n)=v_p(2^m+3^m)+v_p(q)$$ olacaktır. Eğer $p\neq q$ ise $v_p(2^n+3^n)=v_p(2^m+3^m)$ olur ancak bu durumda $2^n+3^n=2^m+3^m$ olmalıdır. Fakat bariz bir şekilde $2^n+3^n>2^m+3^m$ olması gerektiğinden, bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $p=q$ olmalıdır. Yani $v_p(2^m+3^m)=k-1$'dir. $2^m+3^m\mid p^k$ olduğundan ve $v_p(2^m+3^m)=k-1$ olduğundan $2^m+3^m=p^{k-1}$ olmalıdır. Buradan da $$\left(2^m+3^m\right)^p=p^k=2^{mp}+3^{mp}$$ bulunur. Bu da bir çelişkidir çünkü binom açılımı ile $\left(2^m+3^m\right)^p$ ifadesi açılırsa, $2^{mp}+3^{mp}$'den büyük olduğu görülebilir. Dolayısıyla $w(n)\geq 2$ olamaz. $\boxed{w(n)=0,1}$ olabilir.
Not 1: Eğer çözüm incelenirse, $2$ ve $3$ sayılarının kullanılmasının çok önemli olmadığı görülebilir. Dolayısıyla $a$ ile $b$ üzerine ufak koşullar konularak soru $a^n+b^n$ için genelleştirilebilir.
Not 2: Yine çözüm dikkatli incelenirse, $n$'nin $2$ tane asal böleni olmasından ziyade, tek asal böleni olması çelişki doğurmuştur. Dolayısıyla $n\geq 2$ için $n$'nin tek asal böleni $2$ olmalıdır.
Not 3: İspatını bitiremediğim için soruyu bu şekilde sordum ama büyük olasılıkla $2^n+3^n$'nin bir asal sayının kuvveti olmasını sağlayan tüm $n$ değerleri $1,2,4$'dür.
