Bulgaristan Güz Matematik Yarışması 2023 - 10.3

[Metin Can Aydemir]

$k$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, $$\text{EKOK}(n+1,n+2,\dots, n+k)$$ ifadesinin $n$'ye bağlı, rasyonel katsayılı bir polinom olmasını sağlayan tüm $k$'ları bulunuz.

Not: Bu soru için iki farklı ingilizce çeviri gördüm. Birinde $n$ için bir sınırlama yokken, diğerinde yeterince büyük $n$'ler için denilmiş. Çözümlerden orijinal soruyu anlamaya çalışınca $n$ için yeterince büyük denilmesinin bir çözüm yolunda kullanıldığı, diğerleri için önemli olmadığını anlayabiliyoruz. Çözmeye çalışırken bunu göz önünde bulundurabilirsiniz.

[Metin Can Aydemir]

$k=1$ için EKOK kavramını kullanmak saçma olsa da teknik olarak $\text{EKOK}(n+1)=n+1$ diyebiliriz ve bu bir polinomdur.

$k=2$ için $\text{EBOB}(n+1,n+2)=1$ ve $$\text{EBOB}(a,b)\text{EKOK}(a,b)=ab$$ olduğundan $\text{EKOK}(n+1,n+2)=(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$'dir ve bu bir polinomdur.

$k\geq 3$ için $\text{EKOK}(n+1,n+2,\dots, n+k)=P(n)$ olsun. $n$ yerine $-1,-2,\dots,-k$ koyduğumuzda EKOK sonucu $0$ çıkacağından polinom olarak $(n+1)(n+2)\cdots (n+k)\mid P(n)$ olmalıdır. Ayrıca bariz bir şekilde tamsayılardaki bölme işlemi olarak her $n$ tamsayısı için $P(n)\mid (n+1)(n+2)\cdots (n+k)$ olmalıdır. Dolayısıyla bir $N$ pozitif tamsayısı için $$P(n)=\frac{(n+1)(n+2)\cdots (n+k)}{N}$$ olmalıdır. $n=1$ için $$P(1)=\frac{k!}{N}=\text{EKOK}(1,2,\dots, k)\implies N=\frac{k!}{\text{EKOK}(1,2,\dots, k)}$$ olur, yani $$P(n)=\frac{(n+k)!\text{EKOK}(1,2,\dots, k)}{n!k!}=\dbinom{n+k}{k}\text{EKOK}(1,2,\dots, k)$$ olacaktır. EKOK'u yok etmek için $$\frac{P(n+1)}{P(n)}=\frac{\dbinom{n+1+k}{k}}{\dbinom{n+k}{k}}=\frac{n+1+k}{n+1}\implies \text{EKOK}(n+2,n+3,\dots, n+k+1)=\frac{n+1+k}{n+1}\text{EKOK}(n+1,n+2,\dots, n+k)$$ elde edilir. $$\text{EKOK}(n+1,n+2,\dots,n+k)=\text{EKOK}(n+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))$$ $$=\frac{(n+1)\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k)}{\text{EBOB}(n+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))}$$ olacaktır. Buradan, $$=\frac{(n+k+1)\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k)}{\text{EBOB}(n+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))}=\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots, n+k+1)$$ $$=\frac{(n+k+1)\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k)}{\text{EBOB}(n+k+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))}$$ $$\implies \text{EBOB}(n+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))=\text{EBOB}(n+k+1,\text{EKOK}(n+2,n+3,\dots,n+k))$$ olur. $k=3$ için $n=0$ yazdığımızda çelişki elde ederiz. Dolayısıyla $k\geq 4$'dür.

$n=1$ için  $$\text{EBOB}(2,\text{EKOK}(3,4,\dots,k+2))=2=\text{EBOB}(k+2,\text{EKOK}(3,4,\dots,k+1))$$ $$\implies \text{EBOB}\left(\frac{k+2}{2},\frac{1}{2}\text{EKOK}(3,4,\dots,k+1)\right)=1$$ $k\geq 4$ olduğundan dolayı $\frac{k+2}{2}\geq 3$ olacaktır. Ayrıca $k+1\geq \frac{k+2}{3}$ olduğundan $$\frac{k+2}{2}\mid \text{EKOK}(3,4,\dots,k+1)$$ olacaktır. Dolayısıyla $$\text{EBOB}\left(\frac{k+2}{2},\text{EKOK}(3,4,\dots,k+1)\right)=\frac{k+2}{2}\implies \text{EBOB}\left(\frac{k+2}{2},\frac{1}{2}\text{EKOK}(3,4,\dots,k+1)\right)=\frac{k+2}{2}\text{    veya    }\frac{k+2}{4}$$ olacaktır. $\frac{k+2}{2}=1$ veya $\frac{k+2}{4}=1$'den uygun bir $k$ gelmeyeceğinden dolayı çelişki elde ederiz. Sadece $\boxed{k=1,2}$ istenileni sağlar.