$x=19b$ için $$a^8-a^7=x^2+2x\implies a^8-a^7+1=(x+1)^2$$ olacaktır. $a^8-a^7+1$'in çarpanlara ayrılabileceğini görmek zor olabilir ama burada görülmesi istenilen $a^2-a+1$'in çarpan olduğudur. Bunu bilinen bir lemma ile gösterelim.
Lemma: $n,m$ doğal sayıları için $x^{3n+2}+x^{3m+1}+1$ polinomu $x^2+x+1$ ile bölünebilir.
İspatı için $(x^2+x+1)(x-1)=x^3-1$ olduğu kullanılabilir. Bu kısmı atlıyorum. Bu lemmadan dolayı $(x^2+x+1)\mid (x^8+x^7+1)$ olacaktır. $x$ yerine $-a$ yazarsak da $(a^2-a+1)\mid (a^8-a^7+1)$ olacaktır. Polinom bölmesi ile $$a^8-a^7+1=(a^2-a+1)(a^6-a^4-a^3+a+1)$$ olduğu bulunur. Bu terimlerin en büyük ortak bölenine Öklid algoritması ile bakarsak, $1$ veya $19$ olabileceği görülür ancak $19$ olamaz çünkü $(x+1)^2\equiv 1\pmod{19}$'dur. Dolayısıyla $a^2-a+1$ ve $a^6-a^4-a^3+a+1$ aynı anda tamkare olmalıdır. $t$ doğal sayısı için $$a^2-a+1=t^2\implies 4a^2-4a+4=(2a-1)^2+3=4t^2\implies 4t^2-(2a-1)^2=3$$ $$\implies (2t-2a+1)(2t+2a-1)=3$$ elde edilir. Buradan $t=\pm 1$ ve $a=0,1$ elde edilir. Yerine yazarsak, $b=0$ bulunur. Dolayısıyla tüm çözümler $(a,b)=(1,0),(0,0)$'dır.
