Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2022 Soru 2

[geo]

$\{1,2, \ldots, n\}$ kümesinin bazı alt kümeleri seçildiğinde bunların hiçbirini kapsamayan bir alt kümeye ince diyelim. Herhangi ikisinin kesişimi en çok bir elemanlı olan üç elemanlı bazı alt kümeler nasıl seçilirse seçilsin, eleman sayısı $29$'u geçmeyen her ince kümeye, küme ince kalacak şekilde bir eleman eklenebiliyorsa $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?