Verilen eşitliği düzenlersek, $a+c=\frac{16}{b}$ bulunur ($b\neq 0$ olduğu barizdir). $a^2+b^2+c^2=K$ dersek de $a^2+c^2=K-b^2$ olacaktır. $b$'yi sabitlersek $a$ ve $c$ üzerinden ikinci dereceden bir denklem elde edeceğiz. Bu denklemin çözümünün olması için, yani diskriminantının negatif olmaması için $$2(a^2+c^2)\geq (a+c)^2\iff 2(K-b^2)\geq \frac{256}{b^2}$$ olacak şekilde bir $b>0$ olmalıdır. Eşitsizliği düzenlersek, $$0\geq b^4-Kb^2+128$$ elde edilir. Bu eşitsizliğin çözümü olmasını sağlayan en küçük $K$ pozitif tamsayısı, aradığımız sayıdır. $b^2=t$ yazarsak, $$0\geq t^2-Kt+128$$ elde edilir. Bu polinomun $t>0$ koşulunu göz ardı etmemiz durumunda bile çözümü olması için diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır, yani $$K^2\geq 4\cdot 128=512\implies K\geq 23$$ olmalıdır. $K=23$ için uygun bir $b$ bulabileceğimizi gösterelim. Öncelikle $t^2-23t+128$ polinomunun iki tane farklı reel kökü vardır çünkü $\Delta_t>0$'dır. Bu köklere $t_0<t_1$ dersek, bu kökler pozitiftir çünkü negatif olmaları durumunda $$t^2-23t+128<0$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $b\in (\sqrt{t_0},\sqrt{t_1})$ aralığında alırsak, eşitsizlik sağlanır ve uygun $a,c$ reel sayılarını bulmuş oluruz. Bulacağımız $a$ ve $c$'nin pozitif olması için de $$a+c>0$$ $$2ac=(a+c)^2-(a^2+c^2)=\frac{b^4-23b^2+256}{b^2}>0$$ eşitsizliklerini sağlamalıyız. Eğer $b$'yi belirlediğimiz sınırlara çok yakın seçersek $b^4-23b^2+128$ ifadesi negatif olmasına rağmen sıfıra çok yakın olur ve $ac>0$ olmasını sağlayabiliriz.
Dolayısıyla $a^2+b^2+c^2$'nin alabileceği en küçük tamsayı değeri $23$'dür. WolframAlpha'dan bulduğum bir örnek durum da $(a,b,c)=\left(\frac{32-\sqrt{59/2}}{14},\frac{7}{2},\frac{32+\sqrt{59/2}}{14}\right)$ şeklindedir.
