Rasyonel aralık sorusu

[Metin Can Aydemir]

a) $a,b>0$ tamsayıları için $$\frac{99}{100}<\frac{a}{b}<\frac{100}{101}$$ ise $b$ en az kaçtır?

b) Önceden bilinen bir $b$ pozitif tamsayısı için $$\frac{99}{100}<\frac{a}{b}<\frac{100}{101}$$ olmasını sağlayan tek bir $a$ pozitif tamsayısı varsa $b$ en fazla kaç olabilir?

c) Önceden bilinen bir $a$ pozitif tamsayısı için $$\frac{99}{100}<\frac{a}{b}<\frac{100}{101}$$ olmasını sağlayan tek bir $b$ pozitif tamsayısı varsa $a$ en fazla kaç olabilir?

[Metin Can Aydemir]

a) Lemma: $x,y,u,v$ pozitif tamsayıları $\frac{x}{y}<\frac{u}{v}$ eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda $$\frac{x}{y}<\frac{x+u}{y+v}<\frac{u}{v}$$ eşitsizlikleri sağlanır.

İspat: $\frac{x}{y}<\frac{u}{v}$ olduğundan $xv<uy$ olduğunu not alalım. $$\frac{x}{y}<\frac{x+u}{y+v}\iff x(y+v)<y(x+u)\iff xv<uy$$ olduğundan en soldaki eşitsizlik doğrudur. Benzer şekilde sağ taraftaki eşitsizlik de gösterilebilir.

Bu lemmadan yola çıkarak $\frac{a}{b}=\frac{199}{201}$, yani $(a,b)=(199,201)$ seçilebilir. İddiamız $\max b=201$ olduğudur. Aksini varsayalım ve $b\leq 200$ için uygun bir $a$ olduğunu varsayalım. $a<b$ olduğu barizdir. Eşitsizliği düzenlersek, $$\frac{1}{101}<\frac{b-a}{b}<\frac{1}{100}\leq \frac{2}{b}$$ elde edilir. Dolayısıyla $b-a=1$ olmalıdır. Ancak bu durumda da $100<b<101$ olacağından çelişki elde ederiz. $b\leq 200$ için çözüm yoktur. $\boxed{\max b=201}$ bulunur.

[Metin Can Aydemir]

b) Önceden bilinen bir $b$ değeri için tek $a$ çözümse, $a-1$ ve $a+1$ çözüm olmadığından $\frac{a-1}{b}$ ve $\frac{a+1}{b}$ kesirleri verilen aralığın dışında kalmalıdır. Yani $$\frac{a-1}{b}\leq \frac{99}{100}<\frac{a}{b}<\frac{100}{101}\leq \frac{a+1}{b}$$ olacaktır. $\left(\frac{a-1}{b},\frac{a+1}{b}\right)$ aralığı $\left(\frac{99}{100},\frac{100}{101}\right)$ aralığından daha geniş olduğundan (kapsadığından), $$\frac{a+1}{b}-\frac{a-1}{b}\geq \frac{100}{101}-\frac{99}{100}\implies \frac{2}{b}\geq \frac{1}{10100}$$ $$\implies 20200\geq b$$ elde edilir. Yani $b>20200$ olduğunda $a$ ile birlikte $a+1$ veya $a-1$ de istenileni sağlayacaktır. $b=20200$ için $$\frac{99}{100}<\frac{a}{20200}<\frac{100}{101}\implies 19998<a<20000\implies a=19999$$ olacaktır, yani tek bir $a$ değeri vardır. Buradan $\boxed{\max b=20200}$ elde edilir.

c) Önceki kısma benzer bir yöntem kullanacağız. Önceden bilinen bir $a$ değeri için tek $b$ çözümse, $b-1$ ve $b+1$ çözüm olmadığından $\frac{a}{b+1}$ ve $\frac{a}{b-1}$ kesirleri verilen aralığın dışında kalmalıdır ($b=1$ olmadığı aralıktan dolayı barizdir). $$\frac{a}{b+1}\leq \frac{99}{100}<\frac{a}{b}<\frac{100}{101}\leq \frac{a}{b-1}$$ $$\implies b-1\leq \frac{101a}{100}<b<\frac{100a}{99}\leq b+1$$ $$\implies (b+1)-(b-1)=2\geq \frac{100a}{99}-\frac{101a}{100}=\frac{a}{9900}\implies 19800\geq a$$ elde edilir. $a=19800$ için sadece $b=19999$ çözümü olacağından $\boxed{\max a=19800}$'dır.