Kısmi Toplam ile Seri arasındaki integral ilişkisi

[Metin Can Aydemir]

İndislerde bulunan $p$, asal sayıları göstermek üzere, $Re(s)>1$ için $$\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p$$ $$\phi(s)=\sum_{p}\frac{\log p}{p^s}$$ fonksiyonlarını tanımlayalım. Bu iki fonksiyon arasında $Re(s)>1$ için $$\phi(s)=s\int_{1}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{s+1}} dx$$ ilişkisi olduğunu gösteriniz.

Not 1: $\phi$ fonksiyonunun tanım kümesinde $Re(s)>1$'i daha da genişletemiyoruz çünkü fonksiyon tanımındaki ifade $s=1$'de ıraksamaktadır.

Not 2: Bu integral eşitliği aslında "The Prime Number Theorem" olarak bilinen $\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}$ teoreminin önemli bir başlangıç adımıdır. Burada $\pi(x)$ olarak belirtilen fonksiyon $x$'den küçük veya eşit asal sayıların sayısını veren fonksiyondur.

Not 3: $\varphi(x)\sim x$'dir. Yani $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\varphi(x)}{x}=1$'dir.

[Metin Can Aydemir]

$\varphi(x)$ fonksiyonunun $1$'den sonsuza kadar nasıl değiştiğine bakarsak sadece asal sayılara denk geldiğinde fonksiyonun değer değiştirdiğini görebiliriz. Yani asal sayıları $p_i$ olarak dizersek ($p_i$'yi $i.$ asal sayı olarak tanımlıyoruz.) $x\in [p_n,p_{n+1})$ aralığında $\varphi(x)$ fonksiyonu sabittir. Ayrıca $[1,p_1)=[1,2)$ aralığında da sıfırdır. Dolayısıyla $$s\int_{1}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{s+1}}dx=\sum_{n=1}^{\infty} s\int_{p_n}^{p_{n+1}} \frac{\varphi(x)}{x^{s+1}}dx=\sum_{n=1}^{\infty} s\varphi (p_n)\int_{p_n}^{p_{n+1}} \frac{1}{x^{s+1}}dx=\sum_{n=1}^{\infty} s\varphi (p_n)\left.\left(\frac{x^{-s}}{-s}\right)\right|_{p_n}^{p_{n+1}}$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty} \varphi (p_n)\left(p_n^{-s}-p_{n+1}^{-s}\right)$$ olacaktır. $\varphi(p_{n+1})=\log p_{n+1}+\varphi(p_n)$ olduğundan $$\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n)\left(p_n^{-s}-p_{n+1}^{-s}\right)=\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n) p_n^{-s}-\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n)p_{n+1}^{-s}$$ $$=\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n) p_n^{-s}-\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_{n+1})p_{n+1}^{-s}+\sum_{n=1}^{K}  p_{n+1}^{-s}\log p_{n+1}$$ olacaktır. İlk iki toplam teleskopik bir toplam olduğundan $$\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n)\left(p_n^{-s}-p_{n+1}^{-s}\right)=\varphi(p_1)p_1^{-s}-\varphi(p_{K+1})p_{K+1}^{-s}+\sum_{n=1}^{K}  p_{n+1}^{-s}\log p_{n+1}$$ olacaktır. $\varphi(p_1)p_1^{-s}$ terimi en son toplamdaki eksik $n=0$ durumundaki terimdir. Dolayısıyla $$\sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n)\left(p_n^{-s}-p_{n+1}^{-s}\right)=-\varphi(p_{K+1})p_{K+1}^{-s}+\sum_{n=1}^{K+1}  p_{n}^{-s}\log p_{n}$$ elde edilir. Sonuç olarak $$s\int_{1}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{s+1}}dx=\lim\limits_{K\to \infty} \sum_{n=1}^{K} \varphi (p_n)\left(p_n^{-s}-p_{n+1}^{-s}\right) =\phi(s)-\lim\limits_{K\to \infty} \frac{\varphi(p_K)}{p_K^{s}}$$ olacaktır. $$\varphi(p_K)=\sum_{n=1}^{K}\log p_n\leq K\log p_K\leq p_K\log p_K \implies 0\leq \left\lvert\frac{\varphi(p_K)}{p_K^s}\right\rvert\leq \left\lvert\frac{\log p_K}{p_K^{s-1}}\right\rvert$$ ve $Re(s-1)>0$ olduğundan $x^{s-1}$ fonksiyonu $\log x$'i domine edecektir. Yani $$\lim\limits_{K\to\infty} \frac{\varphi(p_K)}{p_K^s}=0\implies s\int_{1}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{s+1}}dx=\phi(x)$$ olacaktır.

[Metin Can Aydemir]

$Re(s-1)>0$ olduğundan $x^{s-1}$ fonksiyonu $\log x$'i domine edecektir.

Bu kısmı daha detaylı gösterme ihtiyacı hissettim çünkü $s$ burada reel sayı olmak zorunda değil. Denk olacak şekilde $a,b$ reel sayıları ve $a>0$ olmak üzere $s=a+bi$ kompleks sayısı için $x\to \infty$ iken $\frac{\log x}{x^s}\to 0$ olduğunu gösterelim ($x\in\mathbb{R}^+$). Eğer fonksiyonun boyutu $0$'a giderse kendisi de $0$'a gitmelidir. $$\left\lvert \frac{\log x}{x^{a+bi}}\right\rvert=\left\lvert \frac{\log x}{x^{a}}\right\rvert\cdot \left\lvert e^{-(b\log x )i}\right\rvert=\left\lvert \frac{\log x}{x^{a}}\right\rvert$$ olduğundan sadece $s$'nin reel kısmı önemlidir. L'Hospital kuralından da $a>0$ için reel fonksiyonun limitin $0$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla $s=a+bi$ için de limit $0$ olacaktır.

Analiz kısmında her zaman daha dikkatli olmak gerekir çünkü kullanılan teoremin varsayımları karşılanmadığı takdirde sonuç bariz gibi gözükse bile aksi örnek bulmak mümkün olabiliyor.