Gönderen Konu: Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik  (Okunma sayısı 5388 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik
« : Kasım 21, 2023, 05:55:22 ös »
$a,b,c$ gerçel sayılar iken $(a+b+c)^2\geq 3 (ab+bc+ca)$ eşitsizliğini biliyoruz. Bir isme ithaf edilemeyecek kadar temel olduğunu düşündüğüm bu eşitsizliğin bir genellemesini verelim.


Teorem: $a_1, a_2, \dots, a_n$ gerçel sayılar olmak üzere $$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j $$ eşitsizliği vardır. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken geçerlidir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Kasım 21, 2023, 06:11:33 ös »
İspat: Tam kare özdeşliğini yazalım,

$$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\left(\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j \right) \tag{1}$$

olur. Öte yandan, $\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j\leq n} (a_i^2 + a_j^2)}$ toplamını incelersek her bir $a_i^2$ teriminin $n-1$ defa göründüğünü anlarız. Böylece,

$$  \sum_{i=1}^n a_i^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{1\leq i<j\leq n} (a_i^2 + a_j^2) $$

eşitliğini yazabiliriz. $(a_i-a_j)^2 \geq 0$ tam kare eşitsizliğinden $a_i^2 + a_j^2 \geq 2a_i a_j$ olduğundan

$$  \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \dfrac{2}{n-1} \left( \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i a_j \right) \tag{2}$$

eşitsizliği elde edilir. $2 + \dfrac{2}{n-1} = \dfrac{2n}{n-1}$ olduğundan; $(1)$ ve $(2)$ den,

$$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j $$

sonucuna ulaşılır. Eşitlik durumu analizi için  $(a_i-a_j)^2 \geq 0$ tam kare eşitsizliği göz önüne alınırsa, Yalnızca $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken eşitliğin sağlanacağını anlarız.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik
« Yanıtla #2 : Kasım 21, 2023, 06:20:34 ös »
Problemin Yeniden Düzenleme Eşitsizliği/ Muirhead Eşitsizliği ile de çözümü bulunmaktadır.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik
« Yanıtla #3 : Aralık 24, 2023, 01:30:39 öö »
İkinci İspat
Maclaurin Eşitsizliği'ni kullandığımızda $n=1,2$ durumları karşılaştırıldığında
$$\sqrt{d_2\left(x\right)}\leq d_1\left(x\right) \quad \text{||} \quad d_k\left(x\right)=\dfrac{E_{k}\left(x\right)}{\dbinom{n}{k}}=\dfrac{\sum\limits_{J\subseteq {1,\cdots,n}\atop Card\left(J\right)=k}{\prod\limits_{i\in J}{x_i}}}{\dbinom{n}{k}}$$
$$\Rightarrow \dfrac{\sum\limits_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}}{\dbinom{n}{2}}\leq \dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2}{n^2}$$
elde ederiz.
Dolayısıyla
$$\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2\geq \dfrac{n^2}{\dbinom{n}{2}}\sum_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}=\dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}$$
sonucu çıkar ve ispatı böylelikle tamamlarız. Maclaurin Eşitsizliği bu problemdeki gibi birçok problemde altermatif çözüm üreten geniş bir eşitsizlik teoremidir.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal