Cevap: $\boxed{C}$
Öncelikle üçgen eşitsizliğinden, $0<n<50$ aralığındaki her $n$ için kenarları $25,25,n$ olan bir üçgen oluşturulabileceğini görelim. Heron formülünden, $$S_n=\sqrt{\left(25+\frac{n}{2}\right)\cdot \left(25-\frac{n}{2}\right)\cdot \frac{n}{2}\cdot \frac{n}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{2500n^2-n^4}$$ elde edilir. $49$ tane $n$ için $49$ tane $S_n$ elde edebiliriz. Bunlar arasında çakışanları bulalım. $n\neq m$ için $$S_n=S_m\implies 2500n^2-n^4=2500m^2-m^4\implies m^4-n^4=2500(m^2-n^2)$$ $$\implies m^2+n^2=2500=50^2$$ elde edilir. Burada $m=n$ halinde zaten çözüm yoktur. Yani bu denklemin pozitif tamsayılardaki çözümünü bulmamız yeterlidir. Pisagor üçlülerinden, $$(m,n,50)=(k|u^2-v^2|,2uvk,(u^2+v^2)k)$$ formatında olmalıdır. $k(u^2+v^2)=50$'yi pozitif tamsayılarda ve $u\neq v$ için çözersek, $k=1,2,5,10,25,50$ için $(u,v)=(1,7),(3,4),(1,3),(1,2)$ ve simetrileri elde edilir. Bunlardan $2$ farklı $(m,n)$ çifti elde edileceğinden (simetrileri hariç) farklı $S_n$'lerin sayısı $49-2=47$ olacaktır. Bunlar da $(m,n)=(14,48),(30,40)$'dır.
