Verilen denklemi düzenlersek, $3(4x^3-1)=(3y)^2$ elde edilir. $$(3y)^2=\left[(2x^3+1)+(2x^3-2)\right]\left[(2x^3+1)-(2x^3-2)\right]=(2x^3+1)^2-(2x^3-2)^2$$ $$=(2x^3+1)^2-4(x^3-1)^2$$ olacaktır. $x=1$ ise $y=1$ çözümü elde edilir.
$x\neq 1$ ise $$P(t)=(x^3-1)t^2-(2x^3+1)t+(x^3-1)=(x^3-1)(t-1)^2-3t$$ polinomunu oluşturalım. Diskriminantı bir rasyonel sayının karesi ve $x\in\mathbb{Q}$ olduğundan iki kökü de rasyoneldir. Bu kökler $1$ ve $0$'dan farklıdır çünkü $P(1)=-3$ ve $P(0)=x^3-1\neq 0$'dır. Ayrıca $$(t-1)P(t)=(x^3-1)(t-1)^3-3t(t-1)$$ $$=x^3(t-1)^3-(t^3-3t^2+3t-1+3t^2-3t)=(xt-x)^3-t^3+1$$ elde edilir. $P$ polinomunun bir kökü olan $t_0$'ı alalım. $$(t_0)^3+(x-xt_0)^3=1$$ elde edilir. $p,q,u,v$ tamsayıları için $t_0=\frac{p}{q}$ ve $x-xt_0=\frac{u}{v}$ yazarsak, $$\frac{p^3}{q^3}+\frac{u^3}{v^3}=1\implies (pv)^3+(uq)^3=(qv)^3$$ elde edilir. Fermat teoreminden dolayı bu denklemin tek çözümü $(pv)(uq)(qv)=0$, yani $t_0=0$ veya $x-xt_0=0$ iken elde edilir. Ancak $x>0$ ve $t_0\neq 0,1$ olduğundan çözüm elde edemeyiz. Dolayısıyla $(t_0)^3+(x-xt_0)^3=1$ denkleminin çözümü yoktur ve $x\neq 1$ durumunda çözüm elde edemeyiz.
Tek çözüm $(x,y)=(1,1)$'dir.
