Ardışık sayılar içerisindeki asal sayıların sayısı

[Metin Can Aydemir]

Problem (Metin Can Aydemir): "İçerisinde tam olarak $n$ tane asal sayı bulunan ardışık $100$ pozitif tamsayı vardır." önermesinin yanlış olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı kaçtır?

Bu soruyu derincesi YouTube kanalında yayınlanan bir sorudan ilham alarak oluşturdum. O videoya da koyduğum linkten ulaşabilirsiniz.

[Metin Can Aydemir]

İlk $100$ pozitif tamsayı içerisinde $25$ tane asal sayı vardır ancak $101$ de asal olduğundan $2,3,\dots,101$ sayıları arasında tam olarak $26$ asal sayı vardır. İddiamız, $0\leq n\leq 26$ için önermenin doğru olduğu $n>26$ içinse önermenin yanlış olduğudur. $A_k=\{k,k+1,\dots,k+99\}$ olsun.

$0\leq n\leq 26$ ise $26$ asal sayı içeren bir $A_2$ kümesi vardır. Ayrıca $A_{101!+2}$ kümesinde de her eleman bileşik sayı olduğundan bu kümede de $0$ tane asal sayı vardır. $A_k$ ile $A_{k+1}$ kümelerine bakıldığında $k$ sayısının çıkarıldığı ve $k+100$ sayısının eklendiği görülebilir. $k$ ve $k+100$'ün asallık durumlarına göre $A_k$'deki asal sayıların sayısı ile $A_{k+1}$'deki asal sayıların sayısı arasındaki fark $0$ veya $1$ olabilir. $26$ asal sayı $A_2$'den $A_{101!+2}$'e ilerlenirken $0$'a kadar düştüğüne göre öyle bir bir $2\leq m\leq 101!+2$ vardır ki $A_m$ kümesinde tam olarak $n$ adet asal sayı vardır.

Şimdi ise $100$ tane ardışık sayı içerisinde $27$ veya daha fazla asal sayı olamayacağını gösterelim. Yani $k\geq 2$ için $A_k$'de en az $74$ tane bileşik sayı olduğunu göstermeliyiz. Ardışık $100$ sayı içerisinde her zaman $50$ tane çift sayı vardır. $2$'yi çıkartırsak, ardışık $100$ sayı içerisinde en az $49$ tane çift bileşik sayı vardır.

$3$'e bölünen ama $2$'ye bölünmeyen ($6k+3$ formatındaki sayılar) sayılara bakalım. $3$'ü de çıkartırsak ardışık $100$ sayı içerisinde en az $16$ tane $6k+3$ formatında bileşik sayı vardır (Ardışık $100$ sayı içerisinde her zaman $17$ veya $16$ tane bu formatta sayı vardır ancak $3$'ün dahil olduğu durumların hepsinde $17$ tane vardır).

$5$'e bölünen ama $2$ veya $3$'e bölünmeyen ($30k\pm 5$ formatındaki sayılar) sayıların sayısına bakalım. $5$'i çıkarttığımızda da en az $6$ tane bileşik sayı elde edeceğiz.

$7$'e bölünen ama $2$ veya $3$ veya $5$'e bölünmeyen en az $3$ bileşik sayı vardır ($a\equiv 7,49,77,91,119,133,161,203\pmod{210}$).

Dolayısıyla en az $49+16+6+3=74$ bileşik sayı vardır. Yani $26$'dan fazla asal sayı olamaz.

Önermenin yanlış olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı $\boxed{27}$'dir.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Metin Can, çok güzel bir problem ve çözüm olmuş. (Alkış bırakıyorum)

[Metin Can Aydemir]

Bugün Waclaw Sierpinski'nin "250 problems in elementary number theory" kitabında bu soruyu gördüm. 131. soruda ardışık 10 pozitif tamsayı için, 132. soruda ise 100 pozitif tamsayı için bu soru sorulmuş. Benim 100'ü seçme sebebim hem çok yuvarlanmış bir sayı olması, hem de 101'in asal olmasıydı. Demek ki Sierpinski veya onun bu soruyu aldığı kaynak da öyle düşünmüş olacak ki o da 100 ardışık sayı için sormuş.