Genelleştirilmiş IMO 1995 #2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,n$ pozitif reeller ($n\geq 1$) olmak üzere $abc=k^3$ ise


$$\dfrac{1}{a^{n}\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^{n}\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^{n}\left(a+b\right)}\geq \dfrac{3}{2.k^{n+1}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu ifadeye $k=1$ verdiğimizde $n$ in değeri önemsiz olmakla beraber minimum değer $\dfrac{3}{2}$ çıkmakta ve orijinal soruyu kanıtlamaktadır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},n,p$ pozitif reeller ($n\geq 2$ ,$p\geq 1$) olmak üzere $\prod{a_{1}}=1$ ise


$$\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{1}{a_{j}^{2p+1}\left(x_{1}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}a_{j-1}}+x_{2}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}a_{j+1}}\right)^{p}}\right)}\geq \dfrac{n}{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{p}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},n,p,k$ pozitif reeller ($n\geq 2$ ,$p\geq 1$) olmak üzere $\prod{a_{1}}=k$ ise


$$\sum_{cyc}{\left(\dfrac{k^{p+1}}{a_{j}^{2p+1}\left(x_{1}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}a_{j-1}}+x_{2}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{j}a_{j+1}}\right)^{p}}\right)}\geq \dfrac{n\sqrt[n]{k^{n-1}}}{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{p}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\dfrac{k}{a_1}=a_2a_3\cdots a_n$ olduğundan
$$\sum_{cyc}{\left(\dfrac{k^{p+1}}{a_{1}^{2p+1}\left(x_{1}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{1}a_{n}}+x_{2}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{1}a_{2}}\right)^{p}}\right)}=\sum_{cyc}{\left(\dfrac{\left(a_2a_3\cdots a_n\right)^{p+1}}{a_{1}^{p}\left(x_{1}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{1}a_{n}}+x_{2}.\dfrac{\prod{a_{1}}}{a_{1}a_{2}}\right)^{p}}\right)}$$
$$=\sum_{cyc}{\left(\dfrac{\left(a_2a_3\cdots a_n\right)^{p+1}}{\left(x_{1}.a_1a_2\cdots a_{n-1}+x_{2}.a_1a_3\cdots a_n\right)^{p}}\right)}$$
Bu aşamadan sonra Genelleştirilmiş Titu Eşitsizliği'ni kullanarak
$$=\sum_{cyc}{\left(\dfrac{\left(a_2a_3\cdots a_n\right)^{p+1}}{\left(x_{1}.a_1a_2\cdots a_{n-1}+x_{2}.a_1a_3\cdots a_n\right)^{p}}\right)}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\right)^{p+1}}{n^{p+1-p-1}\left [\left(x_1+x_2\right)\left(\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\right) \right ]^{p}}=\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}$$
Şimdi ise pay için Aritmetik-Geometrik Ortalama uygularsak
$$\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc-j}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j-2}}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}=\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc-j}{\dfrac{\prod{a_1}}{a_j}}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{n\sqrt[n]{\left(\prod{a_1}\right)^{n-1}}}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}=\dfrac{n\sqrt[n]{k^{n-1}}}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.

$k=1$ verildiğinde Genelleştirme 3, Genelleştirme 2'ye dönüşür. Buna ek olarak $x_1=x_2=p=1$  verildiğinde problem orijinal IMO 1995 P2'ye dönüşür. Genelleştirme 1' in ispatı farklı bir şekilde yapılacaktır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu çözümün motivasyonu paydada bir tane $a$ çarpanı bırakıp paydada $ab$'li ifadeler elde etmektir.
$$\dfrac{1}{a^{n}\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^{n}\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^{n}\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(bc\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.c\left(a+b\right)}$$
Bu aşamada Genelleştirilmiş Titu Eşitsizliği'ni kullanarak
$$\dfrac{\left(bc\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.c\left(a+b\right)}\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^{n-1}}{k^{3n-3}.3^{n-3}.2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^{n-2}}{k^{3n-3}.3^{n-3}.2}$$
Pay için Aritmetik-Geometrik Ortalama uygularsak
$$\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^{n-2}}{3^{n-3}.2}\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{\left(3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\right)^{n-2}}{k^{3n-3}.3^{n-3}.2}=\dfrac{3^{n-2}k^{2n-4}}{k^{3n-3}.3^{n-3}.2}=\dfrac{3}{2.k^{n+1}}$$
elde eder ve ispatı böylelikle tamamlarız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 4
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},n,p,k,s$ pozitif reeller ($n\geq 2$, $p\geq 1$, $2s\leq n-1$) olmak üzere $\prod{a_{1}}=k$ ise


$$\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{k^{p+1}}{\left(a_{j}a_{j+1}\cdots a_{j+s}\right)^{2p+1}\left(x_{1}\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j+n-s-2}\right)+x_{2}\left(a_{j+2s+2}a_{j+2s+3}\cdots a_{j-1}\right)\right)^{p}}\right)}\geq \dfrac{n\sqrt[n]{k^{n-s-1}}}{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{p}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\dfrac{k}{a_ja_{j+1}\cdots a_{j+s}}=a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j-1}$ olduğundan
$$\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{k^{p+1}}{\left(a_{j}a_{j+1}\cdots a_{j+s}\right)^{2p+1}\left(x_{1}\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j+n-s-2}\right)+x_{2}\left(a_{j+2s+2}a_{j+2s+3}\cdots a_{j-1}\right)\right)^{p}}\right)}
=\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j-1}\right)^{p+1}}{\left(a_{j}a_{j+1}\cdots a_{j+s}\right)^{p}\left(x_{1}\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j+n-s-2}\right)+x_{2}\left(a_{j+2s+2}a_{j+2s+3}\cdots a_{j-1}\right)\right)^{p}}\right)}$$
$$=\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j-1}\right)^{p+1}}{\left(x_{1}.a_ja_{j+1}\cdots a_{j+n-s-2}+x_{2}.a_{j+2s+2}a_{j+2s+3}\cdots a_{j+s}\right)^{p}}\right)}$$
Bu aşamadan sonra Genelleştirilmiş Titu Eşitsizliği'ni kullanarak
$$\sum_{cyc-j}{\left(\dfrac{\left(a_{j+s+1}a_{j+s+2}\cdots a_{j-1}\right)^{p+1}}{\left(x_{1}.a_ja_{j+1}\cdots a_{j+n-s-2}+x_{2}.a_{j+2s+2}a_{j+2s+3}\cdots a_{j+s}\right)^{p}}\right)}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_{s+2}a_{s+3}\cdots a_{n}}\right)^{p+1}}{n^{p+1-p-1}\left [\left(x_1+x_2\right)\left(\sum\limits_{cyc}{a_{s+2}a_{s+3}\cdots a_{n}}\right) \right ]^{p}}=\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_{s+2}a_{s+3}\cdots a_{n}}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}$$
Şimdi ise pay için Aritmetik-Geometrik Ortalama uygularsak
$$\dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_{s+2}a_{s+3}\cdots a_{n}}\right)}{\left(x_1+x_2\right)^{p}} \overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{n\sqrt[n]{\left(\prod{a_1}\right)^{n-s-1}}}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}=\dfrac{n\sqrt[n]{k^{n-s-1}}}{\left(x_1+x_2\right)^{p}}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.

$s=0$ verildiğinde Genelleştirme 4, Genelleştirme 3'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bu genelleştirmeleri daha somutlaştırabilmek amacıyla Genelleştirme 1'in özel
$$k=2,n=7$$
durumunu 3D Desmos'da illüstre edelim. Genelleştirme 1'de $a,b,c$ arasında bir ilişki bulunduğundan ifadeyi iki değişkene indirgeyip çıktısıyla bunu 3D fonksiyon grafiğinde çizdirebiliriz. 3D grafiği için $a=x,b=y$ aldığımızda dolayısıyla $c=\dfrac{8}{xy}$ olacaktır. Eşitsizliğin sağ tarafını sıfırladıktan sonra bu $x,y$ pozitif reellerine bağlı fonksiyon için $z=f(x,y)$ olarak alalım.
Sonuç olarak $c$ yerine $\dfrac{8}{xy}$ yazıldığında

$$z=f(x,y)=\dfrac{1}{a^7\left(b+\dfrac{8}{ab}\right)}+\dfrac{1}{b^7\left(\dfrac{8}{ab}+a\right)}+\dfrac{a^7b^7}{8^7\left(a+b\right)}-\dfrac{3}{2^9} \qquad \forall x,y\in R^+$$
olarak fonksiyonu 3D grafikte çizdirmeye hazir hale getiririz. Çizdirdiğimizde ekte görüldüğü üzere gerçekten ispatlandığı gibi $z=f(x,y)\geq 0$ olarak elde edilir. Dolayısıyla eşitsizlik doğrudur.