$\text{EBOB}(x,y)=d$ olsun. $\text{EBOB}(a,b)=1$ ve $x=ad$, $y=bd$ olacak şekilde $a,b$ pozitif tamsayıları vardır. Yerine yazarsak, $$abd^2\mid d^na^n-d^nb^n-da+(-1)^{n+1}bd\implies d\mid a+(-1)^nb$$ elde edilir. Her $n$ için bu sağlanıldığından dolayı $d\mid a+b$ ve $d\mid a-b$ olacaktır. $\text{EBOB}(a,b)=1$ olduğundan $\text{EBOB}(a,d)=\text{EBOB}(b,d)=1$ olmalıdır. Buradan $$d\mid (a+b)+(a-b)=2a\implies d\mid 2\implies d=1,2$$ bulunur.
$d=1$ ise $n=2$ için $$a\mid -b^2-b\implies a\mid b+1$$ $$b\mid a^2-a\implies b\mid a-1$$ elde edilir. $a=1$ ise $b$ herhangi bir tamsayı olabilir. Buradan $m\geq 1$ tamsayısı için $(x,y)=(1,m)$ çözümü bulunur. $a\geq 2$ ise bölünebilme eşitsizliğinden $$a\leq b+1\leq (a-1)+1=a$$ olacağından $a=b+1$ olmalıdır. Buradan da $m\geq 1$ için $(x,y)=(m+1,m)$ çözümü elde edilir.
$d=2$ ise $n=2$ için $$a\mid 2b+1\quad\text{ve}\quad b\mid 2a+1$$ olacaktır. $2b+1=at$ yazalım. $$4b+t+2=2at+t=(2a+1)t\implies b\mid 4b+t+2\implies b\mid t+2$$ olacaktır. $t=bk-2$ yazalım. $$2b+1=a(bk-2)\implies 2a+2b+1=abk$$ olacaktır. $$2a+2b+1\leq 4\max\{a,b\}+1\leq 4ab+1\leq 5ab\implies k\leq 5$$ olur. $2a+2b+1$ tek sayı olduğundan $k$ da tek olmalıdır. $k=1,3,5$ olabilir. Bu değerler için eşitlikleri çözersek $(a,b)=(1,1),(1,3),(3,1),(3,7),(7,3)$ çözümlerini elde ederiz. Yani $(x,y)$ ikilisi $(2,2),(6,2),(2,6),(6,14),(14,6)$ olabilir. Eğer yerine yazarsak sadece $(2,2)$ ve $(6,2)$ ikilileri istenileni sağlar.
Tüm çözümler $m\geq 1$ için $\boxed{(x,y)=(1,m),(m+1,m),(2,2),(6,2)}$ elde edilir.
