Eğer $x,y,z$'nin üçü birden pozitifse veya üçü birden negatifse $x,y,z$ yerine $\epsilon|x|,\epsilon|y|,\epsilon|z|$ yazabiliriz ($\epsilon=\pm 1$). Aritmetik-geometrik eşitsizlikten $$\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\geq 3$$ elde edilir. Eşitlik durumu $|x|=|y|=|z|$ iken sağlanır. İşaretleri aynı olduğundan $\boxed{x=y=z}$'dir.
$(+,+,-)$ ve $(-,-,+)$ durumlarının $(x,y,z)\to (-x,-y,-z)$ dönüşümüyle aynı duruma çıkacağı görülebilir. Dolayısıyla sadece iki pozitif, bir negatif durumunu incelememiz yeterlidir. Genelliği bozmadan $x,y>0$ ve $z<0$ olsun. $(x,y,z)=(a,b,-c)$ yazarsak, tüm değişkenler pozitif olur. $EBOB(a,b,c)=d$
ise $a,b,c$ yerine $\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d}$ yazabileceğimizden $EBOB(a,b,c)=1$ kabul edebiliriz. $$\frac{a}{b}=3+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\implies a^2c=3abc+ab^2+bc^2$$ elde edilir. $EBOB(a,b)=u$, $EBOB(a,c)=v$ ve $EBOB(b,c)=w$ dersek, $a=uva_1$, $b=uwb_1$ ve $c=vwc_1$ olacak şekilde ikişerli aralarında asal $a_1,b_1,c_1$ vardır. Ayrıca $u,v,w$ de ikişerli aralarında asaldır. Yerine yazarsak, $$u^2v^3wa_1^2c_1=3u^2v^2w^2a_1b_1c_1+u^3vw^2a_1b_1^2+uv^2w^3b_1c_1^2$$ $$\implies uv^2a_1^2c_1=3uvwa_1b_1c_1+u^2wa_1b_1^2+vw^2b_1c_1^2$$ Buradan $u\mid b_1c_1^2$ elde edilir. Ancak $EBOB(u,c_1)=1$ olmalıdır, aksi takdirde $EBOB(a,b,c)>1$ olur. Dolayısıyla $u\mid b_1$'dir. Benzer şekilde, $v\mid a_1$, $w\mid c_1$ elde edilir. Diğer değişkenlerle de inceleme yaparsak, $a_1\mid vw^2$ elde edilir. Yine $EBOB(a_1,w)=1$ olduğundan $a_1\mid v$'dir. Daha önce bulduğumuz $v\mid a_1$'den $a_1=v$ olduğunu elde ederiz. Benzer şekilde $b_1=u$ ve $c_1=w$'dir. Buradan $(a,b,c)=(uv^2,u^2w, vw^2)$ bulunur. Yerine yazarsak, $$v^3-3uvw-u^3-w^3=0$$ bulunur. $v=t+\frac{uw}{t}$ dönüşümü uygularsak, $t^2-vt+uw=0$ ve $$t^3+\frac{u^3w^3}{t^3}-u^3-w^3=0\implies (t^3-u^3)(t^3-w^3)=0$$ bulunur. Eğer $t=u$ veya $t=w$ değilse $t^2+ut+u^2=0$ veya $t^2+wt+w^2=0$ olacaktır. $t\neq u,w$ durumunda $t$ reel olmayacaktır. Ancak $t^2-vt+uw=0$ ve $t^2+ut+u^2=0$'ı aynı anda çözmeye çalışırsak $t$ rasyonel çıkacaktır veya $u=-v$ olacaktır ama $u$ ve $v$ pozitiftir. Dolayısıyla $t=u$ veya $t=w$'dir ($t^2+wt+w^2=0$ durumunda da aynı çelişki çıkar). İki durumda da $v=u+w$'dir ve yerine koyarsak sağlar.
Yani $(a,b,c)=(u(u+w)^2,u^2w,(u+w)w^2)$ bulunur. $(x,y,z)$'e çevirirsek $(x,y,z)=(u(u+w)^2,u^2w,-(u+w)w^2)$ olur. EBOB'u incelerken yaptığımız dönüşümü de eklersek, $$\boxed{(x,y,z)=(ku(u+w)^2,ku^2w,-k(u+w)w^2)}$$ çözümü bulunur. Çembersel kombinasyonları da çözümdür. $k$'nın işaretine göre incelemediğimiz $(-,-,+)$ durumu da bu çözüm formatından elde edilir. Ek olarak tanımlı olabilmesi için ve çözümden dolayı $u,w>0$ ve $k\neq 0$ olmalıdır.
