Yunanistan 2012 TST #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller ve $a+b+c=3$ olmak üzere

$$\sum_{cyc} \dfrac{a^{2}}{(b+c)^{3}}\geq \dfrac{3}{8}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1:
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere

$$\sum_{cyc}{\dfrac{a^2}{(b+c)^3}}\geq \dfrac{9}{8(a+b+c)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\sum_{cyc}{\frac{a^2}{(b+c)^3}}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^5}{(ab+ac)^3}}\overbrace{\geq}^{Titu} \sum_{cyc}{\dfrac{(a+b+c)^5}{24(ab+bc+ca)^3}}\geq \dfrac{(a+b+c)^5}{24(\dfrac{(a+b+c)^6}{3^3})}$$
$$=\dfrac{27}{24(a+b+c)}=\dfrac{9}{8(a+b+c)}$$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Versiyon 1- 4 Değişkenli
$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere

$$\dfrac{a^2}{(b+c)^3}+\dfrac{b^2}{(c+d)^3}+\dfrac{c^2}{(d+a)^3}+\dfrac{d^2}{(a+b)^3}\geq \dfrac{2}{a+b+c+d}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a,b,c$ pozitif reeller ($k\geq 1$) ve $n\geq 0$ reel sayı olmak üzere

$$\dfrac{a^k}{(b+c)^{n+k}}+\dfrac{b^k}{(c+a)^{n+k}}+\dfrac{c^k}{(a+b)^{n+k}}\geq \dfrac{3^{n+1}}{2^{n+k}(a+b+c)^n}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2 için çözüme bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.