Kesişim Kümesinin En Büyük Değeri {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem [Lokman GÖKÇE]: $60$ kişilik bir sınıftaki öğrencilerin $\%60$ ı matematik sınavında başarılı, $\%45$ i fizik sınavında başarılı, $\%40$ ı  biyoloji sınavında başarılıdır. En az iki dersin sınavından başarılı olanların oranı $\%70$ tir.

(a) Üç dersten de başarılı olan öğrencilerin sayısı en fazla kaç olabilir?
(b) Üç dersten de başarısız olan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir?

[Metin Can Aydemir]

Dersleri baş harfleriyle gösterirsek, sadece $M$, sadece $F$, sadece $B$ derslerinde başarılı öğrenci sayısı sırasıyla $a,b,c$ olsun. Sadece $MF$, sadece $MB$, sadece $FB$ derslerinde başarılı öğrencilerin sayısı sırasıyla $x,y,z$ olsun. Tüm derslerden başarılı olan $u$, hiçbir dersten başarılı olmayan $v$ öğrenci olsun. Bu durumda $$a+x+y+u=36$$ $$b+x+z+u=27$$ $$c+y+z+u=24$$ $$x+y+z+u=42$$ olur. İlk üç denklemi toplarsak, $$a+b+c+2(x+y+z)+3u=87\implies a+b+c+u=87-84=3$$ elde edilir. Bu durumda tüm derslerden geçmiş en fazla $3$ kişi olabilir.

$u=3$ ise $a=b=c=0$ olacaktır. Bu durumda $x+y=33$, $x+z=24$, $y+z=21$ olur ve bu sistemi çözersek, $(x,y,z)=(18,15,6)$ elde edilir. $a+b+c+x+y+z+u+v=60$ olduğundan $v=18$ bulunur. Dolayısıyla tüm derslerden başarıyla geçmiş en fazla $3$ kişi olabilir.

[Lokman Gökçe]

Metin Can'ın kullandığı gösterimleri, kümelerin sınıf içindeki yüzdelerini ifade etmek için kullanarak devam edelim. 

(a) $|X|$ ile, $X$ kümesinin sınıf içindeki yüzdesini gösterelim. En az iki dersten başarılı olanlar, sınıfın $\% 70$ i olduğundan $x+y+z+u=70$ olur. İçerme dışarma prensibi ile $|M\cup F \cup B| = |M| + |F| + |B| - |M \cap F| - |M \cap B| - |B \cap F| + |M \cap B \cap F| $ olup

$$ |M\cup F \cup B| = 60 + 45 + 40 - (x+u) - (y+u) - (z+u) + u = 145 - (x+y+z+u) -u = 75-u $$

elde edilir. Ayrıca, sorunun çözümündeki kritik öneme sahip bir eşitsizlik

$$ |M\cup F \cup B| \geq |(M \cap B) \cup (M \cap F) \cup (F \cap B)| = x+y+z+u = 70$$

olup buradan $75-u \geq 70$ elde ederiz. $0\leq u \leq 5$ tir. $u_\max = 5$ olur. Böylece, her üç dersten de başarılı olan öğrencilerin sayısı $60\cdot \dfrac{5}{100} = \boxed{3}$ bulunur. Bu durumun sağlanması için $a=b=c=0$ ve $x=30, y=25, z= 10$ olmalıdır.



(b) $v$ nin en az olması için $|M\cup F \cup B| = 75 - u$ değeri maksimum olmalıdır. Bunun için de $u_\min = 0$ olmalıdır. Bu halde $|M\cup F \cup B| = 75 - u = 75$ olup $v_\min=100-75 = 25$ tir. Üç dersten de başarısız olan öğrencilerin sayısı en az $60\cdot \dfrac{25}{100} = \boxed{15}$ tir.