Belarus TST 2017 #4.2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $x+y+z=2$ ise

$$
\frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\geqslant\frac14\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x} \right).
$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $x+y+z=2k$ ise

$$\sum_{cyc}{\frac{(x-k)^2}{y}}\geq \frac{1}{4}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genel 1 Çözüm

Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım.

$$\left(\dfrac{(x-k)^2}{y}+\dfrac{(y-k)^2}{z}\right)+\left(\dfrac{(y-k)^2}{z}+\dfrac{(z-k)^2}{x}\right)+\left(\dfrac{(z-k)^2}{x}+\dfrac{(x-k)^2}{y}\right)$$
$$\overbrace{\geq}^{Titu} \sum_{cyc}{\dfrac{(x+y-2k)^2}{y+z}}=\sum_{cyc}{\dfrac{z^2}{y+z}}\geq \frac{1}{2}\left(\sum_{cyc}{\dfrac{x^2+y^2}{x+y}}\right)$$
$$\rightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{2z^2-y^2-z^2}{y+z}}\geq 0$$
Soldaki ifadenin 0'a eşit olduğu çarpanlara ayırmayla barizdir.