Genelleştirilmiş Türkiye TST 2017 #5 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c,k\in\mathbf{R^+}$ ve $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=3$ ise

$$a^kb+b^kc+c^ka+3k\geq (k+1)(ab+bc+ca)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

2-)
$a,b,c,d,k\in \mathbf{R^+}$ ve $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c+d=4$ ise

$$a^kb+b^kc+c^kd+d^ka+4k\geq (k+1)(ab+bc+cd+da)$$

olduğunu gösteriniz.

3-)
$a,b,c,d,k\in \mathbf{R^+}$ ve $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c+d\leq 4$ ise

$$a^kb+b^kc+c^kd+d^ka+4k\geq (k+1)(ab+bc+cd+da)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

1-) Çözümü

$$a^{k}b+b^kc+c^ka+3k=a^kb+b^kc+c^ka+k(a+b+c)$$
$$=a^kb+(k-1)b+b^kc+(k-1)c+c^ka+(k-1)a+(a+b+c)=a^kb+\overbrace{b+\cdots+b}^{k-1}+b^kc+\overbrace{c+\cdots+c}^{k-1}+c^ka+\overbrace{a+\cdots+a}^{k-1}+(a+b+c)$$
$$\overbrace{\geq}^{AM-GM} k(ab+bc+ca)+(a+b+c)\geq (k+1)(ab+bc+ca) $$

$a+b+c=3$ olduğundan $a+b+c=3\geq ab+bc+ca$ diyebiliriz. Bu da sondaki eşitsizliği kanıtlar.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2- Çözümü
Homojeniteden
$$a^kb+b^kc+c^kd+d^ka+4k\geq (k+1)(ab+bc+cd+da)=a^kb+b^kc+c^kd+d^ka+k(a+b+c+d)$$
$$=\sum_{cyc}{\left(a^kb+\overbrace{b+b+\cdots+b}^{k-1}\right)}+a+b+c+d$$
$$\overbrace{\geq}^{AGO} k(ab+bc+cd+da)+a+b+c+d\geq (k+1)(ab+bc+cd+da)$$
$$\rightarrow a+b+c+d\geq ab+bc+cd+da$$
Sondaki ifadenin doğrulu ise
$$ab+bc+cd+da\overbrace{\geq}^{AGO} \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}=a+b+c+d$$
şeklinde gösterilebilir.

İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},d,k$ pozitif reeller ($k\geq1$) olmak üzere $\sum_{cyc}{a_{1}}=n$ ise


$$\sum_{cyc}{\left(a_{1}^{k}a_{2}\right)}+nk\geq (k+1)\left(\sum_{cyc}{a_{1}a_{2}}\right)$$

olduğunu gösteriniz.