Öncelikle,
$xy_{1}^{t}+k^2x\geq 2xky_{1}^{\frac{y}{2}}$ olduğunu gösterelim.
$$xy_{1}^{t}+k^2x=\overbrace{\frac{y_{1}^{t}}{k}+\frac{y_{1}^{t}}{k}+\cdots+\frac{y_{1}^{t}}{k}}^{xk}+\overbrace{k+k+\cdots+k}^{xk}\geq 2xky^{\frac{txk}{2xk}}=2xky^{\frac{t}{2}}$$
O zaman paydadaki ifade için
$$xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}}+k^2x\geq 2xky_{1}^{\frac{2m(n-1)!}{(n-p)!}}$$
$$\displaystyle \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{ n-1}{p-1}]{\frac{xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}} +k^2x}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}\geq \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{ n-1}{p-1}]{\frac{2xky_{1}^{\frac{2m(n-1)!}{(n-p)!}}}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}$$
$$=\frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}\left(y_{1}^{2m(p-1)!}+y_{2}^{2m(p-1)!}+\cdots+y_{p}^{2m(p-1)!}\right)}{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{\prod_{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots+a_{p}y_{p})}}}\geq \frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}.2\left(y_{1}^{2m(p-1)!}+y_{2}^{2m(p-1)!}+\cdots+y_{p}^{2m(p-1)!}\right)}{\left[\frac{(n-p+1)(n-p+2)(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})}{\dbinom{n-1}{p-1}}\right]}$$ (1)
$$\geq \frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}.2\left(\frac{\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}\right)^{2m(p-1)!}}{p^{2m(p-1)!}.p}\right)}{\left[\frac{(n-p+1)(n-p+1)(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})}{\dbinom{n-1}{p-1}}\right]}$$ (2)
$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.2\left[\frac{\dbinom{n-1}{p-1}}{(n-p+1)(n-p+2)}\frac{(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})^{2m(p-1)!-1}}{p^{2m(p-1)!-1}}\right]$$
$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n-1)!}{(n-p)!(n-p+1)(n-p+2)(p-1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}$$
$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n-1)!}{(n-p+2)!(p-1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n+1)!}{(n-p+2)!(p-1)!}.\frac{(n-1)!}{(n+1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}$$
$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\dbinom{n+1}{p-1}.\frac{1}{n(n+1)}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}=\sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2xk}.\binom{n+1}{p-1}.2\frac{\left(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}}{n(n+1)}$$
İspat biter.
Püf Noktalar: Çarpım sembolü içerisindeki ifadenin kaç terimin çarpımı olduğunu binom katsayılarından biliyoruz. $=> \dbinom{n-1}{p-1}$ dir. ($n$ topu $p$ kutuya $n\geq p$ olmak üzere her kutuda en az bir top bulunacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir sorusu ile cevaplayabiliriz. Soruda $a_{1},a_{2},\cdots,a_{p}\geq 1$ tamsayılar olduğu belirtildiğini hatırlayalım.) Geometrik ortalama sonrası $y_{1}$ in katsayısı, $1-> n-p+1$ e doğru gider (geri kalanlar en az 1 olduğundan). Sonrasında da Gauss toplamı uygularız.
(1) de Geometrik-Aritmetik Ortalama , (2) de ise Genelleştirilmiş Faydalı Eşitsizlik kullandık. Geri kalan kısımda ise ifadeyi düzenledik.
Eşitlik durumu kulandığımız aritmetik-geometrik ortalamadan $y_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}}=k^2$ ve geometrik-aritmerik ortalamadan $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}=\cdots=a_{p}y_{p}$ ve de Genelleştirilmiş Faydalı Eşitsizlik(veya Kuvvet Ortalaması E.) kullandığımızdan $y_{1}=y_{2}=\cdots=y_{p}$ ve dolayısıyla da $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{p}$ için sağlanır.
