Eşitsizlik --4-- {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$, $n\geq 2$ ve $m\geq \frac{1}{2}$ olmak üzere


                                      $$\sum{\sqrt[n-1]{\frac{xa^{8m(n-1)!} +9x}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\geq \sqrt[n-1]{6x}\left(\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{6n}\right)$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$xa^t+k^2x\geq 2xka^{\frac{t}{2}}$ olduğunu biliyoruz. Ayreten Faydalı Eşitsizlik de kullanacağız.

$$\sum{\sqrt[n-1]{\frac{xa^{8m(n-1)} +9x}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\geq \sum{\sqrt[n-1]{6x.\frac{a^{4m(n-1)}}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}$$
$$=\sqrt[n-1]{6x}\left(\sum{\sqrt[n-1]{\frac{a^{4m(n-1)}}{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\right)=\sqrt[n-1]{6x}\left(\sum{\frac{a^{4m}}{\sqrt[n-1]{\prod_{i+j=n}{(ia+jb)}}}}\right)$$
$$\geq \sqrt[n-1]{6x}\left(\sum{\frac{a^{4m}}{\frac{n(n-1)(a+b)}{(n-1)}}}\right)=\sqrt[n-1]{6x}\left(\sum{\frac{a^{4m}}{n(a+b)}}\right)\geq \sqrt[n-1]{6x}\left(\frac{(a+b+c)^{4m}}{2n(a+b+c).3^{4m-2}}\right)$$
$$=\sqrt[n-1]{6x}\left(\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{6n}\right)$$