Eşitsizlik Lemması 3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
Lemma:
$a,b,c,x,p,s,k\in \mathbf{R^+}$ , $k\geq \frac{1}{2}$ ve $a+b+c=t$ olmak üzere



$$\frac{a^{2k-1}+p}{xb+s}+\frac{b^{2k-1}+p}{xc+s}+\frac{c^{2k-1}+p}{xa+s}\geq \frac{9p+\frac{t^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{xt+3s}$$



olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.



Özelleştirilmiş Lemma:
$a,b,c,x,p,s\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=t$.


$$\frac{a^{7}+2}{xb+s}+\frac{b^{7}+2}{xc+s}+\frac{c^{7}+2}{xa+s}\geq \frac{\frac{t^{7}}{3^{5}}+18}{xt+3s}$$


olduğunu gösteriniz.

Soru Üzerinde Kullanımı:
$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $a+b+c=3$.


$$\frac{a^3+5}{b+2}+\frac{b^3+5}{c+2}+\frac{c^3+5}{a+2}\geq 6$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\frac{a^{2k-1}+p}{xb+s}+\frac{b^{2k-1}+p}{xc+s}+\frac{c^{2k-1}+p}{xa+s}=\sum{\frac{a^{2k-1}}{xb+s}}+p\left(\sum{\frac{1}{xb+s}}\right)$$

$$=\sum_{cyc}{\frac{a^{2k}}{xab+as}}+p\left(\sum{\frac{1}{xb+s}}\right)\geq \frac{(a+b+c)^{2k}}{3^{2k-2}.\left[x(ab+bc+ca)+s(a+b+c)\right]}+p\left(\frac{9}{x(a+b+c)+3s}\right)$$

$$\geq \frac{(a+b+c)^{2k}}{3^{2k-2}.\left(x(\frac{(a+b+c)^2}{3})+s(a+b+c)\right)}+ p\left(\frac{9}{x(a+b+c)+3s}\right)\geq \frac{9p+\frac{(a+b+c)^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{x(a+b+c)+3s}=\frac{9p+\frac{t^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{xt+3s}$$

$$\leftarrow \frac{(a+b+c)^{2k}}{3^{2k-2}.\left(x\left(\frac{(a+b+c)^2}{3}\right)+s(a+b+c)\right)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{x(a+b+c)+3s}$$

$$\leftarrow \frac{a+b+c}{3(a+b+c)(\frac{x(a+b+c)}{3}+s)}\geq \frac{1}{x(a+b+c)+3s}$$

$$\frac{1}{3(x(\frac{a+b+c}{3})+s)}\geq \frac{1}{x(a+b+c)+3s}$$

Bu ifadenin doğru olduğu açıktır.

Özelleştirilmiş Lemma da $p=2$ verilirse :
$$\frac{a^{7}+2}{xb+s}+\frac{b^{7}+2}{xc+s}+\frac{c^{7}+2}{xa+s}\geq \frac{9p+\frac{t^{2k-1}}{3^{2k-3}}}{xt+3s}
=\frac{\frac{t^{7}}{3^{5}}+18}{xt+3s}$$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a,b,c,d,x,p,s,k\in \mathbf{R^+}$ , $k\geq \dfrac{1}{2}$ olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\dfrac{a^{2k+1}+p}{xb+s}}\geq \dfrac{\dfrac{(a+b+c+d)^{2k+1}}{4^{2k-3}}+16p}{x(a+b+c+d)+4s}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},x,p,s,k\in \mathbf{R^+}$, $k\geq \dfrac{1}{2}$ ve $n\geq 2$ olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\dfrac{a_{1}^{2k+1}+p}{xa_{2}+s}}\geq \dfrac{\dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_{1}}\right)^{2k+1}}{n^{2k-3}}+n^2p}{x\left(\sum_{cyc}{a_{1}}\right)+ns}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2 -Çözümü
$$\sum_{cyc}{\dfrac{a^{2k+1}+p}{xb+s}}=\dfrac{a^{2k-1}+p}{xb+s}+\dfrac{b^{2k-1}+p}{xc+s}+\dfrac{c^{2k-1}+p}{xa+s}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^{2k-1}}{xb+s}}+p\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{xb+s}}\right)$$
$$=\sum_{cyc}{\dfrac{a^{2k}}{xab+as}}+p\left(\sum_{cyc}{\dfrac{1}{xb+s}}\right)\overbrace{\geq}^{Titu} \dfrac{(a+b+c+d)^{2k}}{3^{2k-2}.\left[x(ab+bc+cd+da)+s(a+b+c+d)\right]}+p\left(\dfrac{16}{x(a+b+c+d)+4s}\right)$$
$$\overbrace{\geq}^{AM-GM} \dfrac{(a+b+c)^{2k}}{3^{2k-2}.\left(x(\frac{(a+b+c+d)^2}{4})+s(a+b+c+d)\right)}+ p\left(\dfrac{16}{x(a+b+c+d)+4s}\right)\geq \dfrac{16p+\frac{(a+b+c+d)^{2k-1}}{4^{2k-3}}}{x(a+b+c+d)+4s}$$
 
İspat biter.