Gönderen Konu: Eşitsizlik --2--{çözüldü}  (Okunma sayısı 3422 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Eşitsizlik --2--{çözüldü}
« : Ağustos 23, 2023, 04:02:45 ös »
(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c, x, y, z \in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z\leq 3$ olmak üzere

                    $$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$


olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Eylül 06, 2023, 09:35:49 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Eşitsizlik --2--
« Yanıtla #1 : Ağustos 25, 2023, 01:08:50 ös »
$i)$ $$\sqrt[3]{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}\leq \frac{a+2b+b+2c+c+2a}{3}=a+b+c$$ olduğundan
$$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq (a+b+c)^3$$

$ii)$ $$3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})\geq 3(a+b+c)(\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})$$
$$=(a+b+c)^3\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\geq (a+b+c)^3\frac{3}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}\geq (a+b+c)^3\frac{3}{3}=(a+b+c)^3$$.

Kısaca

$$(a+2b)(b+2c)(c+2a)\leq (a+b+c)^3\leq (a+b+c)^3\frac{3}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}\leq 3(a+b+c)(\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})$$
$$\leq 3(a+b+c)(\frac{a^2}{\sqrt{x}}+\frac{b^2}{\sqrt{y}}+\frac{c^2}{\sqrt{z}})$$
« Son Düzenleme: Eylül 06, 2023, 09:37:47 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal