(Hüseyin Emekçi)
Genelleştirilmiş Hali:
$x,y,z,a,b\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere
$$\boxed{\frac{x(ax-by)}{y(az+bx)}+\frac{y(ay-bz)}{z(ax+by)}+\frac{z(az-bx)}{x(ay+bz)}\geq 3\frac{a-b}{a+b}}$$
olduğunu gösteriniz.
Lemmanın Özelleştirilmesi:
$x,y,z,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere
$$\frac{7x^2-bxy}{7yz+bxy}+\frac{7y^2-byz}{7zx+byz}+\frac{7z^2-bzx}{7xy+bzx}\geq \frac{3a-21}{b+7}$$
olduğunu gösteriniz.
Soruda Kullanılışı:
1-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere
$$\frac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\frac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\frac{z(2z-x)}{x(2y+z)}\geq 1$$
olduğunu gösteriniz.
2-)
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere
$$\frac{x(3x-y)}{y(3z+x)}+\frac{y(3y-z)}{z(3x+y)}+\frac{z(3z-x)}{x(3y+z)}\geq \frac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.
Not:Her paydaki ve paydadaki $|b|$ katsayılı terimlerin soruda önemli rol oynadığı; paydadaki $xy$ teriminin katsayısı $b$ değil de $d$ olsaydı farklı sonuçlar ortaya çıkacağı su götürmez bir gerçektir.
