Bir Eşitsizlik Lemması- Genel {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,t\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{t-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{t-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{t-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(t\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$

olduğunu gösteriniz.


Lemma'nın Daha Özel Hali:
$a,b,c,x\in \mathbf{R^+}$, $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere

$$ \frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{2-\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{2-\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}\left(2\sqrt{\frac{3}{k}}-1 \right) $$


Not: İkisini de hazırlarken Eşitsizlik 136'dan esinlenip genelleştirdim. Bu lemmanın kullanım alanı olarak probleme buradan ulaşabilirsiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

                                                             $$\sum{\frac{t-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}}=\sum{\frac{t}{\sqrt{c+xa}}}-\sum{\sqrt{\frac{a}{c+xa}}}$$.

1-)
                                            $$\sum{\frac{t}{\sqrt{c+xa}}}\geq t(\frac{9}{\sqrt{c+xa}+\sqrt{a+xb}+\sqrt{b+xc}})\geq t(\frac{9}{3\sqrt{\frac{(x+1)(a+b+c)}{3}}})=\boxed{\frac{3t}{\sqrt{(x+1)(\frac{k}{3})}}}$$

2-)
                                            $\sum{\frac{-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}}$ ile uğraştığımızdan
                                             $\sum{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}}\leq ?$ olduğunu arayacağız.

                                $$\sum{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}}\leq 3\sqrt{\frac{\frac{a}{c+xa}+\frac{b}{a+xb}+\frac{c}{b+xc}}{3}}3\sqrt{\frac{\frac{a}{c+xa}+\frac{b}{a+xb}+\frac{c}{b+xc}}{3}}$$   Bunu not edelim.

$\frac{a}{c+xa}+\frac{b}{a+xb}+\frac{c}{b+xc}\leq \frac{1}{d}$ olsun. $\frac{1}{d}$ yi x cinsinden bulup not ettiğimiz yere yerleştirip bu bölümü tamamlıyacağız.
İfadeleri açalım:
                                   $$d[a(a+xb)(b+xc)+b(b+xc)(c+xa)+c(c+xa)(a+xb)]\leq (c+xa)(a+xb)(b+xc)$$

$$d(a(ab+axc+xb^2+x^2bc)+b(bc+xab+xc^2+x^2ac)+c(ac+xcb+xa^2+x^2ab))=d[(a^2b+b^2c+c^2a)+2x(a^2c+b^2a+c^2b)+3x^2abc$$

$$=d(a^2b+b^2c+c^2a)+2dx(a^2c+b^2a+c^2b)+3dx^2(abc)$$
Aynı zamanda da$$(c+xa)(a+xb)(b+xc)=(c+xa)(ab+xac+xb^2+x^2bc)=abc+xac^2+xcb^2+xba^2+x^2bc^2+x^2ca^2+x^2ab^2+x^3abc$$

$$= x(a^2b+b^2c+c^2a)+x^2(a^2c+b^2a+c^2b)+(x^3+1)(abc)$$
Yani:
$$=d(a^2b+b^2c+c^2a)+2dx(a^2c+b^2a+c^2b)+3dx^2(abc)\leq x(a^2b+b^2c+c^2a)+x^2(a^2c+b^2a+c^2b)+(x^3+1)(abc)$$
Ortak terimleri çıkartalım

$$0\leq (x-d)(a^2b+b^2c+c^2a)+(x^2-2dx)(a^2c+b^2a+c^2b)+(x^3-3dx^2+1)(abc)$$
Ters çevirelim, daha rahat olur

Aritmetik geometrik ortalamadan:
$$(x-d)(a^2b+b^2c+c^2a)+(x^2-2dx)(a^2c+b^2a+c^2b)+(x^3-3dx^2+1)(abc)\geq (x-d)(3abc)+(x^2-2xd)(3abc)+(x^3-3x^2d+1)abc=abc(3x-3d+3x^2-6xd+x^3-3x^2d+1)=abc(x+1)^2(x+1-3d)\geq 0$$
$a,b,c,x\in \mathbf{R^+}$ olduğundan $x+1-3d\geq 0$ olmalı.

$\frac{1}{d}\geq \frac{x+1}{3}$

 $d$ yi x cinsinden bulduk, kırmızı not ettiğimiz yerde yerleştirirsek.

                  $$3\sqrt{\frac{\frac{a}{c+xa}+\frac{b}{a+xb}+\frac{c}{b+xc}}{3}}\geq 3\sqrt{\frac{\frac{1}{d}}{3}}=3\sqrt{\frac{\frac{3}{x+1}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$$.


Son-)
(1) ve (2) dekileri birleştirelim:
                        $$\sum{\frac{t-\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}}\geq \frac{3t}{\sqrt{\frac{k(x+1)}{3}}}-\frac{3}{\sqrt{x+1}}=\boxed{\frac{3}{\sqrt{x+1}}(t\sqrt{\frac{3}{k}}-1)}$$. $Q.E.D.$

Özelleştirilmiş Lemma da $t=2$ verilirse $x\geq 2$ durumlarında $\frac{3}{\sqrt{x+1}}(2\sqrt{\frac{3}{k}}-1)$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aynı yaklaşımla
$a,b,c,x,t,y\in \mathbf{R^+}$ , $a+b+c=k$ ve $x\geq 2$ olmak üzere , aşağıdaki eşitsizlik sağlanmaktadır.

$$\frac{t-y\sqrt{a}}{\sqrt{c+xa}}+\frac{t-y\sqrt{b}}{\sqrt{a+xb}}+\frac{t-y\sqrt{c}}{\sqrt{b+xc}}\geq \frac{3}{\sqrt{x+1}}(t\sqrt{\frac{k}{3}}-y)$$