Eşitsizlik --1--{çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi):
$x,y,z,a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=k$ olmak üzere

     
                                   $$\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}+\frac{1}{\sqrt{y(az+bx)}}+\frac{1}{\sqrt{z(ax+by)}}\geq 3\sqrt{\frac{9}{k^2(a+b)}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Lemmanın daha özel hali:

$x,y,z,a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=3$ olmak üzere


                                     $$\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}+\frac{1}{\sqrt{y(az+bx)}}+\frac{1}{\sqrt{z(ax+by)}}\geq 3\sqrt{\frac{1}{a+b}}$$


olduğunu gösteriniz.


Lemmanın Kullanım Alanları:
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=3$ olmak üzere


                              $$\frac{1}{\sqrt{x(2y+3z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(2z+3x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(2x+3y)}}\geq 3\sqrt{\frac{1}{5}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi):
$x,y,z,a,b,c\in \mathbf{R^+}$ ve $x+y+z=k$ olmak üzere

     
                                   $$\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}+\frac{1}{\sqrt{y(az+bx)}}+\frac{1}{\sqrt{z(ax+by)}}\geq 3\sqrt{\frac{9}{k^2(a+y)}}$$


olduğunu gösteriniz.

$$\sum{\frac{1}{\sqrt{x(ay+bz)}}}\geq \frac{9}{\sqrt{x(ay+bz)}+\sqrt{y(az+bx)}+\sqrt{z(ax+by)}}\geq \frac{9}{3\sqrt{\frac{axy+ayz+axz+bxy+byz+bxz}{3}}}$$

$$=\frac{9}{3\sqrt{\frac{(a+b)(xy+yz+zx)}{3}}}\geq \frac{9}{3\sqrt{\frac{(a+b)(\frac{(x+y+z)^2}{3})}{3}}}=3\sqrt{\frac{9}{k^2(a+b)}}$$ ve ispat biter.

Not: Lemmanın Daha Özel Hali'nde $k=3$ verilirse,
$=3\sqrt{\frac{1}{a+b}}$ çıkar. Aynı zamanda da Lemmanın Kullanım Alanları'nda da $x+y+z=3$, $a=2$ ve $b=3$ verildiğinde de cevap,
$3\sqrt{\frac{1}{5}}$ çıkar.