Makedonya 2010 Soru 2/ Genelleştirilmiş

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Makedonya 2010 Soru 2 Genelleştirilmiş (Hüseyin Emekçi):

$a,b,c,k\in \mathbb{R^+}$, $a+b+c=x$ ve $k\geq 1$ olmak üzere

$$\dfrac{a^k+k-1}{b+k-1}+\dfrac{b^k+k-1}{c+k-1}+\dfrac{c^k+k-1}{a+k-1}\geq \dfrac{3xk}{x+3k-3}$$

olduğunu gösteriniz.


Not: Asıl soruya bu bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)

Aritmetik-Geometrik Ortalama ve Faydalı Eşitsizlik kullanacağız.

$$\sum{\frac{a^k+k-1}{b+k-1}}\geq \sum{\frac{ka}{b+k-1}}=k(\frac{a}{b+k-1}+\frac{b}{c+k-1}+\frac{c}{a+k-1})$$

$$\geq k\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+(k-1)(a+b+c)}\geq k\frac{(a+b+c)^2}{\frac{(a+b+c)^2}{3}+(k-1)(a+b+c)}=k\frac{a+b+c}{\frac{a+b+c}{3}+k-1}=k\frac{3(a+b+c)}{a+b+c+3k-2}$$
$$=\frac{3xk}{x+3k-3}$$.
İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a,b,c,d,k\in \mathbf{R^+}$ ($k\geq 1$) ve $a+b+c+d=x$ olmak üzere


$$\dfrac{a^k+k-1}{b+k-1}+\dfrac{b^k+k-1}{c+k-1}+\dfrac{c^k+k-1}{d+k-1}+\dfrac{d^k+k-1}{a+k-1}\geq \dfrac{4xk}{x+4k-4}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Sanki $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ için de genelleştirilebilecek gibi gözüküyor.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 3
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\mathbf {R^+}$ ($k\geq 1, n\geq 2$) ve $\sum_{cyc}{a_{1}}=x$ olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\dfrac{a_{1}^{k}+k-1}{a_{2}+k-1}}\geq \dfrac{k.x.n}{x+n(k-1)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2-Çözümü
$$\sum{\dfrac{a^k+k-1}{b+k-1}}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^k+\overbrace{1+1+\cdots+1}^{k-1}}{b+k-1}}\overbrace{\geq}^{AM-GM} \sum{\dfrac{ka}{b+k-1}}$$
$$=k(\dfrac{a}{b+k-1}+\dfrac{b}{c+k-1}+\dfrac{c}{d+k-1}+\dfrac{d}{a+k-1})$$

$$\overbrace{\geq}^{Bergstorm} k\dfrac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+(k-1)(a+b+c+d)}\geq k\dfrac{(a+b+c+d)^2}{\dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}+(k-1)(a+b+c+d)}$$
$$=k\dfrac{a+b+c+d}{\dfrac{a+b+c+d}{4}+k-1}=k\dfrac{4(a+b+c)}{a+b+c+4k-4}$$
$$=\dfrac{4xk}{x+4k-4}$$.