Genelleştirilmiş Türkiye TST 2023 #6 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

 Soru 6 :

$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?

                                       
                                 $$\frac{\left(a^2+b^2+2c^2+3d^2\right)\left(2a^2+3b^2+6c^2+6d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


Orijinal soruyla aynı tipte iki soru türetirsek:

1-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                           $$\frac{\left(4a^2+6b^2+12c^2+18d^2\right)\left(3a^2+2b^2+6c^2+9d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$


2-)
$a,$ $b,$ $c,$ $d$ pozitif reel sayılar olmak üzere, eşitsizliğin minimum değeri nedir?


                              $$\frac{\left(12a^2+3b^2+2c^2+8d^2\right)\left(24a^2+6b^2+16c^2+4d^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(c+d\right)^2}$$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Soru 1 Çözümü:
Biraz incelendiğinde paydaki iki parantezin de içerisinde $36$'nın çarpanları var katsayılarının çarpmını $36$ olan teeimler gruplanabiliyor. Ayrıca minimum değer sorduğundan Cauchy-Schwarz'ın ters hali olabilir. İkinci denklemdeki terimleri dediğimiz gibi grup yapacak şekilde sıralayalım ve Ters Cauchy uygulayalım:
$$\frac{(4a^2+6b^2+12c^2+18d^2)(9d^2+6c^2+3a^2+2b^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}\geq \frac{(6ad+6bc+6ac+6bd)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$

$$=\frac{6^2(a+b)^2(c+d)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$
$$=36$$
 elde edilir.
Soru 2 Çözümü:
Üstteki gibi bu sefer $48$'e gruplayalım ve tersten Cauchy yapalım.
$$\frac{(12a^2+3b^2+2c^2+8d^2)(4d^2+16c^2+24a^2+6b^2)}{(a+b)^2(c+d)^2}\geq \frac{(\sqrt{48}ad+\sqrt{48}bc+\sqrt{48}ac+\sqrt{48}bd)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$

$$=\frac{48(a+b)^2(c+d)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}=48$$

elde edilir. Yani ifadenin minimum değeri $48$'dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş 1
$a,b,c,d,k,m,n,p$ pozitif reeller, $n$ ise $x$ pozitif tam bölenli ($d_{1}<d_{2}<\cdots<d_{x}$) bir pozitif tamsayı olmak üzere


$$\dfrac{\left(d_{k}a^2+d_{m}b^2+d_{n}c^2+d_{p}d^2\right)\left(d_{x+1-p}a^2+d_{x+1-n}b^2+d_{x+1-k}c^2+d_{x+1-m}d^2\right)}{(a+b)^2(c+d)^2}\geq n$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Pozitif bölenlerin sırasıyla verilişi önemli. Zira
$$d_{i}.d_{x+1-i}=n$$
olduğunu biliyoruz. Bu ikilileri oluşturacak şekilde parantez içi ifadeleri sıralayalım.

$$\dfrac{\left(d_{k}a^2+d_{m}b^2+d_{n}c^2+d_{p}d^2\right)\left(d_{x+1-k}c^2+d_{x+1-m}d^2+d_{x+1-n}b^2+d_{x+1-p}a^2\right)}{(a+b)^2(c+d)^2}$$
$$\overbrace{\geq}^{Cauchy} \dfrac{\left(\sqrt{d_{k}d_{x+1-k}}ac+\sqrt{d_{m}d_{x+1-m}}bd+\sqrt{d_{n}d_{x+1-n}}cb+\sqrt{d_{p}d_{x+1-p}}da\right)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}$$
$$=\dfrac{\left(\sqrt{n}(ac+bd+bc+ad)\right)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}=\dfrac{n(a+b)^2(c+d)^2}{(a+b)^2(c+d)^2}=n$$

İspat biter