Bu genel hal için uzun süre temel yöntemler ile çözüm bulmaya çalıştım ama genelleme yapabilecek bir yöntem bulamadım. Bu yüzden analitik bir çözüm yapacağım ama çok daha kısa sürmesi için Dirichlet'in çözümü farklı bir yol kullanarak ilerleteceğim. Orijinal çözümü merak edenler Davenport'un Multiplicative Number Theory kitabının ilk bölümüne bakabilir.
Öncelikle $p$ asalları için $\sum_{p}p^{-1}$'in ıraksadığını gösterelim. İntegral testi kullanarak $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$$ serisinin (zeta fonksiyonu) $s>1$ için yakınsadığını, $s=1$ için de ıraksadığını görebiliriz. Ayrıca Euler çarpım formülünden $s>1$ için $$\zeta(s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}$$ olduğunu biliyoruz. $1-p^{-s}\geq 1-2^{-s}>\frac{1}{2}$ olduğundan hiçbir terim $0$ olamaz. Bu yüzden her iki tarafın logaritmasını alabiliriz. Böylece $$\log \zeta(s)=-\sum_{p}\log(1-p^{-s})$$ elde edilir. $x\in [-1,1)$ için $-\ln{(1-x)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ olduğunu kullanırsak, $$\log\zeta(s)=\sum_{p}\sum_{m=1}^{\infty}m^{-1}p^{-ms}=\sum_{p} p^{-s}+\sum_{p}\sum_{m=2}^{\infty}m^{-1}p^{-ms}$$ olur. Sağdaki toplamın ikinci kısmı $$\sum_{p}\sum_{m=2}^{\infty}m^{-1}p^{-ms}<\sum_{p} p^{-s}+\sum_{p}\sum_{m=2}^{\infty}p^{-m}=\sum_{p}\frac{1}{p(p-1)}<1$$ olacaktır. $s\to 1^+$ iken $\zeta(s)\to \infty$ olduğundan $\sum\limits_{p}p^{-s}\to \infty$ olmalıdır. Buradan asal sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamının ıraksadığını görmüş oluruz. Eğer asalları $q$ modunda verdiği kalanlara göre sınıflandırsak, $$\sum_{p\equiv 1\pmod{q}}p^{-1},\quad \sum_{p\equiv 2\pmod{q}}p^{-1},\cdots \sum_{p\equiv q-1\pmod{q}}p^{-1}$$ toplamlarından en az bir tanesi ıraksamalıdır, aksi takdirde toplamları ıraksamazdı. $p\equiv \alpha \pmod{q}$ olan asallar için ıraksandığını varsayalım. Eğer $p\equiv a\pmod{q}$ olan sonlu asal sayı varsa, onun olduğu toplam ıraksamayacaktır. Sonlu olduğunu kabul edip çelişki bulmaya çalışalım.
$q$ bir asal sayı olduğundan $q$ modunda bir ilkel kök vardır. Bu kök $g$ olsun. $g$'nin kuvvetleri, $1,2,\dots,q-1$ kalanlarını tarayacağından dolayı her $q$ ile aralarında asal $n$ için $$g^{v(n)}\equiv n\pmod{q}$$ olacak şekilde bir $v(n)\in\{1,2,\dots, q-1\}$ vardır. Şimdi de $\omega^{q-1}=1$ olan $\omega$'lara bakalım. $$v(n)\equiv v(m)\pmod{q-1}\iff m\equiv n\pmod{q}$$ ve $\sum_{\omega} \omega^k$ toplamı sadece $k\mid q-1$ iken $q-1$, diğer $k$'lar için $0$ olacağından (Vieta formüllerinden kolaylıkla görülebilir), $$\sum_{\omega}\omega^{-v(m)}\omega^{v(n)}=\begin{cases}q-1&\quad n\equiv m\pmod{q}\\ 0&\quad \text{diğer durumlarda}\end{cases}\tag{1}$$ olacaktır. Şimdi de zeta fonksiyonuna benzer şekilde $$L_{\omega}(s)=\sum_{n\neq 0\pmod{q}}\omega^{v(n)}n^{-s}$$ tanımlayalım. Benzer şekilde bu toplam da $s>1$ için yakınsar, ancak bunu görmek için Dirichlet testi uygulamamız gerekir. $\omega=1$ için $s>1$'de tanımlıyken, $\omega\neq 1$ için $s>0$ için de tanımlı olacaktır. Euler çarpımı bu fonksiyonda da işe yarayacaktır. $$L_{\omega}(s)=\prod_{p\neq q}(1-\omega^{v(p)}p^{-s})^{-1}$$ $|\omega^{v(p)}p^{-s}|=|p^{-s}|<\frac{1}{2}$ olduğundan hiçbir terim $0$ olmaz ve logaritma alabiliriz. Yukarıda zeta için yaptıklarımızı yaparsak, $$\log L_{\omega}(s)=\sum_{p\neq q}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-1}\omega^{v(p^k)}p^{-ks}$$ olacaktır. Sadece $p\equiv m\pmod{q}$ formatındaki asalları bırakmak için $(1)$'i kullanalım. $$\frac{1}{q-1}\sum_{\omega}\omega^{-v(m)}\log L_{\omega}(s)=\underset{p^k\equiv m\pmod{q}}{\sum_{p}\sum_{k=1}^{\infty}}k^{-1}p^{-ks}$$ olur. Sağdaki toplamın $k\geq 2$ kısmı yukarıda yaptığımız gibi üstten sınırlıdır. Dolayısıyla, $s\to 1^+$ iken $$\sum_{\omega}\omega^{-v(m)}\log L_{\omega}(s)\text{ yakınsar}\iff \sum_{p\equiv m\pmod{q}}p^{-1}\text{
yakınsar}$$ Dolayısıyla $L$'li toplam $m=\alpha$ için ıraksarken, $m=a$ için yakınsayacaktır.
Bazı $\omega$'lar için $L_{\omega}(s)$ fonksiyonu sonsuza ve bazı $\omega$'lar için de $0$'a gitmelidir ki eksi ve artı sonsuzlar birbirini götürebilsin. $L$ fonksiyonları $\omega\neq 1$ iken $s>0$ için de tanımlı olduğundan sadece $\omega=1$ için sonsuza gidebilir. Demek ki sadece $\omega=1$ için sonsuza gidiyor, başka bazı $\omega$'lar için ise $0$ olabiliyor. $\omega^{-v(m)}$ terimleri $\log L_{\omega}(s)$'den gelen $\pm \infty$'lerin kaç katlı olduğunu değiştirmediğinden (Örneğin $\frac{1}{(s-1)^n}$ gibi bir terimde $s\to 1^+$ için buradaki kat $n$ oluyor), artı ve eksi sonsuzların birbirini götürüp götürememesi $m$'den bağımsız olacaktır. Dolayısıyla sol taraftaki toplam ya her zaman ıraksar ya da her zaman yakınsar. Bu yüzden $m=\alpha$ için kesin olarak ıraksadığından, $m=a$ için yakınsaması çelişkidir. $m=a$ için de ıraksamalıdır. Buradan sonsuz sayıda $p\equiv a\pmod{q}$ asalı olduğu sonucu çıkar.
