$3k+1$ formatındaki asal sayılar

[Metin Can Aydemir]

$p\equiv 1\pmod{3}$ olan sonsuz tane $p$ asal sayısı olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Tümevarımdan ilerler isek 7 ilk 3k+1 formatındaki asaldır. k yerine 3z+1 yazar ve z ye de 7'yi koyar isek yani k=3z+1 sonra da z=3t+1 ve böyle devam edip en son 7 ye ulaşırız. Burada yararlandığımız ise 3z+1= 3.(3t+1)+1=9t+3 =3p+1 oluşudur. Başta da dediğimiz gibi z=7 alırsak 3k+1=67 asal olur. Sonrasında da 3(67.3+1)+1 = 607 yine asaldır. Yani 3k+1 formatındaki tamsayıların sonsuz olduğu k sayısının sadece mod 3 te 1 e denk olan asal bir sayı olması ile bile söylenebilir.

[Metin Can Aydemir]

Tümevarımdan ilerler isek 7 ilk 3k+1 formatındaki asaldır. k yerine 3z+1 yazar ve z ye de 7'yi koyar isek yani k=3z+1 sonra da z=3t+1 ve böyle devam edip en son 7 ye ulaşırız. Burada yararlandığımız ise 3z+1= 3.(3t+1)+1=9t+3 =3p+1 oluşudur. Başta da dediğimiz gibi z=7 alırsak 3k+1=67 asal olur. Sonrasında da 3(67.3+1)+1 = 607 yine asaldır. Yani 3k+1 formatındaki tamsayıların sonsuz olduğu k sayısının sadece mod 3 te 1 e denk olan asal bir sayı olması ile bile söylenebilir.

Buradaki varsayımınız "$p$, $3k+1$ formatında bir asalsa $3(3p+1)+1=9p+4$ de asaldır" veya "bu indirgemeli dizide sonsuz asal vardır" önermesine dayanıyor ancak bu bariz bir şekilde yanlış veya zaten ispatlanması istenilen şeyin kendisi. Örneğin, örüntünüzü devam ettirelim. $$7\to 67\to 607\to 5467\to 49207\to 442867\to 3985807\to \cdots$$ burada $5467$, $442867$, $3985807$ ve dizinin devamındaki sonsuz sayıda terim asal değildir. Bu dizideki asalların bir noktada bitip sadece asal olmayan sayıları üretip üretmeyeceğini bilmiyoruz.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle $x^2\equiv -3\pmod{p}$ denkliğini inceleyelim. $\left(\frac{a}{p}\right)$ ile Legendre sembolünü gösterelim. $p>3$ asalı için $$x^2\equiv -3\pmod{p}\text{  denkliğinin çözümü vardır} \iff \left(\frac{-3}{p}\right)=1$$ olacaktır. Bu aslında Legendre sembolünün tanımıdır. Ayrıca Legendre sembolünün özelliklerini kullanırsak, $$\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{3}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{3}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{\frac{3-1}{2}\frac{p-1}{2}}=\left(\frac{p}{3}\right)$$ olacaktır. Yani $$\left(\frac{-3}{p}\right)=1\iff \left(\frac{p}{3}\right)=1\iff p\equiv 1\pmod{3}$$ olur. Sonuç olarak da $$x^2\equiv -3\pmod{p}\text{  denkliğinin çözümü vardır} \iff p\equiv 1\pmod{3}$$ elde edilir. Şimdi sonlu sayıda $3k+1$ formatında asal sayı olduğunu varsayalım. Bunlar $p_1,p_2,\dots,p_k$ olsun. Şimdi ise $$N=4p_1^2p_2^2\cdots p_k^2+3$$ sayısını inceleyelim. Bu sayı tektir, dolayısıyla $2$ ile bölünemez. $p_i$ asalları $3$'ten farklı olduğundan $3$ ile de bölünemez. Ayrıca $p_i$ asalları ile de bölünemez çünkü aksi taktirde $p_i\mid 3$ elde edilir. Dolayısıyla $N$'nin tüm asal bölenleri $q>3$ ve $q\equiv 2\pmod{3}$ formatındadır ($N>1$ olduğundan asal böleni vardır). Bu asallardan birini alalım. $$q\mid N\implies N\equiv 0\pmod{q}\implies (2p_1p_2\cdots p_k)^2\equiv -3\pmod{q}$$ olur. Yani $x^2\equiv -3\pmod{q}$ denkliğinin çözümü vardır. Yukarıda bulduğumuz gibi $q\equiv 1\pmod{3}$ elde ederiz ama bu da bir çelişkidir. Yani baştaki kabulumuz hatalıdır. Sonsuz sayıda $3k+1$ formatında asal sayı olmalıdır.


Not: Bu metot ile farklı formattaki asal sayıların sonsuzluğu ispatlanabilir ama bunu genelleştirmek için bir noktada analitik yöntemlere başvurmamız gerekir. Yine de bazı $k,a$ tamsayıları için eğer $$x^k\equiv a\pmod{p}\text{  denkliğinin çözümü vardır} \iff p\equiv m\pmod{n}$$ şeklinde bir önerme elde edebiliyorsak, yukarıdaki yöntemi kullanarak $p\equiv m\pmod{n}$ formatında sonsuz asal sayı olduğunu gösterebiliriz. Bunun bir örneği olarak şunu verelim. $$x^4\equiv -1\pmod{p}\text{  denkliğinin çözümü vardır} \iff p\equiv 1\pmod{8}$$ Bu önermeyi kullanarak $8k+1$ formatında sonsuz asal sayı olduğu kullanılabilir.

[Lokman Gökçe]

Ayrıca $3k+2$ formatında sonsuz çoklukta asal sayı olduğu da burada ispatlandı.



Not: Başka formlarda olan sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu gösteren teorem ispatları buldukça ekleyebiliriz. $4k+1$ ve $4k+3$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı olduğunun ispatlarını paylaştım:

$\bullet$ $4k+1$ asallarının sonsuz sayıda olması burada

$\bullet$ $4k+3$ asallarının sonsuz sayıda olması burada

[Lokman Gökçe]

Teorem: $p\equiv 1\pmod{3}$ olan sonsuz tane $p$ asal sayısı olduğunu gösteriniz.


2. İspat: İspatı, olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle yapalım. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım. $3k+1$ formundaki tüm asal sayılar $p_1, p_2, \dots, p_n$ olsun. Bu formdaki tüm asalların kümesini $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ ile gösterelim. Örneğin $p_1=7$ dir. Yani her $1\leq i\leq n$ için $p_i \equiv 1 \pmod{3}$ olsun. O halde
$$ x = 3\cdot p_1 p_2 \cdots p_n$$
ve
$$ y = x^2 + x + 1 $$
sayılarını tanımlarsak $y$ sayısı $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ kümesinin bir elemanı değildir. Ayrıca $2\nmid y$, $3 \nmid y$ ve her $i$ için $p_i \nmid y$ dir. O halde $y$ nin asal bölenleri $q_j \equiv 2 \pmod{3}$ formundaki sayılardan oluşmaktadır. (İsterseniz, $y= q_1^{a_1}q_2^{a_1}\cdot q_m^{a_m}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılmış biçimde yazabilirsiniz.) Bu asallardan biri $q$ olsun. Yani, $y\equiv 0 \pmod{q}$ ve $q\equiv 2 \pmod{3}$ tür.

$y = x^2 + x + 1 \equiv 0 \pmod{q}$ olup bu denkliği $(x-1)$ ile genişletirsek $x^3 \equiv 1 \pmod{q}$ elde edilir. Dolayısıyla $x$ in modülo $q$ içindeki mertebesi $1$ veya $3$ olabilir.

$\bullet$ Eğer $x$ in modülo $q$ içindeki mertebesi $1$ ise, $x\equiv 1 \pmod{q}$ olup $y=x^2+x+1\equiv 1 + 1 + 1 \equiv 0 \pmod{q}$ yazılır. $3\equiv 0 \pmod{q}$ çelişkisi elde edilir.

$\bullet$ Eğer $x$ in modülo $q$ içindeki mertebesi $3$ ise, Fermat teoreminden dolayı $x^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$ olup $3\mid (q-1)$ ve $q\equiv 1 \pmod{3}$ elde edilir. Bu ise daha önce belirttiğimiz $q\equiv 2 \pmod{3}$ bilgisi ile çelişir.

Sonuçta, her iki durumda da çelişki elde ediyoruz. Bu çelişkinin oluşma sebebi $S$ kümesinin sonlu elemanlı kabul edilmesidir. Yani, teoremin ifadesi doğru olup $p\equiv 1 \pmod{3}$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı vardır.



Not: Bu çözüm yöntemini biraz daha genelleştirip hangi türdeki asalların sonsuz çoklukta oluşunun ispatında kullanabileceğimiz hakkında fikirler oluşabilir. Bulgularımızı paylaşabiliriz.