Yeni Bir Üçgen Tanımlaması : Kutup Üçgeni

[ERhan ERdoğan]

Tanım. Bir $ABC$ üçgeninde dış teğet çemberlerin kenar üzerinde bulunmayan değme noktalarından geçen  $A_2A_3 ,B_2B_3, C_2C_3$   doğruların kesim noktaları $A',B',C'$ olsun.
Bu durumda $A'B'C'$  üçgeni $ABC$ üçgeninin kutup üçgenidir (Şekil 1). 



Problem1.
$ABC$ üçgeninin kutup üçgeni $A'B'C'$ olmak üzere,

i.   $AA', BB' ,CC'$ doğruları aynı bir noktadan geçerler. $AA'\cap BB'\cap CC'=\{H\}$  olmak üzere,
$H$ noktası $ABC$ üçgeninin diklik merkezi iken $A'B'C'$  üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir (Şekil 2).

ii. $BC\cap B'C'=\{P\} ,CA\cap C'A'=\{Q\}, AB\cap A'B'=\{R\}$ olmak üzere $P, Q, R$ noktaları doğrusaldır.


Problem2.
$I_a, I_b, I_c$ noktaları $ABC$ üçgeninin dış teğet çemberinin merkezleri ve kutup üçgeni de $A'B'C'$ olmak üzere,

i. $A'B'C'$ üçgeni ile $I_aI_bI_c$ üçgeni benzerdir.

ii. $A'I_a, B'I_b, C'I_c$ doğruları noktadaştır.

Problem3.
$r$ ve $R,  ABC$ üçgeninin sırasıyla iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçapları olmak üzere, $A'B'C'$ kutup üçgeni için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
i. $$Çevre(A'B'C')=(4R+2r)(\cos\dfrac{A}{2}+\cos\dfrac{B}{2}+\cos\dfrac{C}{2})$$
ii. $$Alan(A'B'C')=\dfrac{u}{2R}(2R+r)^2$$
iii. $R' , A'B'C'$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olmak üzere,
$$R'=2R+r$$
dir.

[ERhan ERdoğan]

Problem4.
$A_1, B_1, C_1, ABC$ üçgeninin dış teğet çemberlerinin değme noktaları olmak üzere,
$$A(A_1B'C')=A(B_1C'A')=A(C_1A'B')=[A(ABC)+A(A_1B_1C_1)]$$
eşitliği geçerlidir (Şekil 3).


Problem5.
$ABC$ üçgeninin kutup üçgeni  $A'B'C'$ olmak üzere,
$A'A_1, B'B_1, C'C_1$ doğruları aynı bir noktadan geçerler. $A'A_1\cap B'B_1\cap C'C_1={H'}$ olmak üzere, $H'$ noktası $A'B'C'$ üçgeninin diklik merkezidir (Şekil 4).


Problem6.
$ABC$ üçgeninin kutup üçgeni $A'B'C'$ olmak üzere, $A_4, B_4, C_4$ noktaları iç çemberin sırasıyla $[BC], [CA], [AB]$ kenarlarına değme noktalarını göstersin.
Bu durumda   $A'A_4, B'B_4, C'C_4$ doğruları noktadaştır (Şekil5).