$3^{39}$

[geo]

$3^{39}$ sayısının ondalık yazımında $1,2,6,7$ rakamları ikişer kez, $3,4,8$ rakamları birer kez geçiyorsa, $5$ rakamı kaç kez geçmektedir?

$\text{A) } 4 \quad \text{B) } 5  \quad \text{C) } 6 \quad  \text{D) } 13 \quad \text{E) } 14 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$5$, $0$ ve $9$ rakamları sırasıyla $a,b,c$ defa geçsin. Bu durumda $3^{39}$ sayısı $11+a+b+c$ rakamlıdır. Ayrıca $3^{39}$ sayısı $9$'a tam bölündüğünden rakamları toplamı da tam bölünür, buradan $$2\cdot(1+2+6+7)+(3+4+8)+5a+0b+9c\equiv 0\pmod{9}\implies 5a\equiv 7\pmod{9}\implies a\equiv 5\pmod{9}$$ bulunur. Yani $a=9k+5$ formatındadır. Eğer $k\geq 1$ ise $a\geq 14$ ve $11+a+b+c\geq 25$ olacaktır. Bu da sayının en az $25$ basamaklı olduğunu ve $10^{24}$'den daha büyük olduğunu söyler. Buradan $$3^{39}\geq 10^{24}\implies 3^{13}\geq 10^8\implies 3^{16}>10^8$$ $$\implies 3^2>10$$ olur fakat bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $k=0$ ve $a=5$ olmalıdır.