Lise 1. Aşama 1995/19 Benzeri

[geo]

$a$ ,$b$, $c$ gerçel sayıları için, $$\begin{array}{rcl} a+b+c &=& 2\\ a^2+b^2+c^2 &=& 2 \end{array}$$ ise, $abc$ çarpımının alabileceği değerleri bulunuz?

[Metin Can Aydemir]

Verilen eşitliklerden $$ab+ac+bc=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=1$$ bulunur. $abc=A$ diyelim. Kökleri $a,b,c$ olan üçüncü dereceden bir polinom yazalım. Vieta formüllerinden $$P(t)=t^3-2t^2+t-A$$ polinomunu elde ederiz. Polinomun lokal maksimum ve minimum noktalarını bulalım. $$P'(t)=3t^2-4t+1=0\iff t=\frac{1}{3} \text{  veya  } t=1$$ Polinom $-\infty$'den $+\infty$'ye gittiğinden $t=\frac{1}{3}$ noktasında lokal minimum, $t=1$ noktasında lokal maksimum vardır. Polinomun $3$ tane reel kökü (katlı kök de olabilir) olması için $P\left(\frac{1}{3}\right)\geq 0$ ve $P(1)\leq 0$ olmalıdır. Buradan $$P\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{27}-A\geq 0\implies A\leq \frac{4}{27}$$ $$P(1)=-A\leq 0\implies A\geq 0$$ elde edilir. Yani $abc\in \left[0,\frac{4}{27}\right]$ olabilir. Bu aralıktaki değerler için $P(t)$'nin üç kökü olduğundan hepsi aradığımız sayılardandır.

Sınırdaki durumları yine de elle gösterelim. $abc=0$ için $(a,b,c)=(1,1,0)$ seçebiliriz. $abc=\frac{4}{27}$ için de $(a,b,c)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$ seçebiliriz.

[geo]

$$(a+b)^2 =(2-c)^2=4-4c+c^2 \tag{1}$$ $$a^2+b^2=2-c^2 \tag {2}$$ Taraf tarafa çıkarırsak $$2ab=2c^2-4c+2\Rightarrow ab = (c-1)^2$$ $a^2+b^2\geq 2ab \Rightarrow 0\geq 3c^2-4c \Rightarrow 0 \leq c \leq \dfrac 43$
Metin Can Aydemir'in yaptığına benzer şekilde $f (c)=c(c-1)^2$ fonksiyonun türevi alınarak çözüme gidilebilir.
Alternatif olarak şöyle devam edebiliriz:

$[1, 4/3]$ aralığında $abc = c(c-1)^2$ artandır. Dolayısıyla bu aralıkta $0\leq abc \leq \dfrac 43 \cdot \left ( \dfrac 13 \right )^2=\dfrac 4{27}$ olacaktır.

$[0, 1]$ aralığında $AGO$ eşitsizliği uygularsak $\dfrac{\dfrac{1-c}2+\dfrac{1-c}2+c}{3} \geq \sqrt[3]{\dfrac{1-c}2 \cdot \dfrac{1-c}2 \cdot c} \Rightarrow \dfrac 4{27} \geq abc$ elde ederiz.

Her iki aralık için de ortak olarak $0\leq abc \leq \dfrac 4{27}$ elde edilir.