3 bilinmeyenli denklem

[geo]

Kaç $a$ tam sayısı için $$\begin {array} {rll}
x^2 + y^2 + a^2 &=& 32 \\
x+y-a &=& 8 
\end{array}$$ denklem sisteminin

• gerçel sayılarda
• tam sayılarda

çözümü vardır?

[Metin Can Aydemir]

$xy$'i elde etmeye çalışalım. $$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(a+8)^2-(32-a^2)}{2}=a^2+8a+16$$ bulunur.

$(a)$ Kökleri $x$ ve $y$ olan bir ikinci dereceden polinom yazalım. Bu polinom $P(t)=t^2-(8+a)t+(a^2+8a+16)$'dir. Diskriminanttan $\Delta\geq 0$ olmalıdır. Dolayısıyla $$(8+a)^2-4(a^2+8a+16)\geq 0\iff 0\geq 3a^2+16a\iff a\in \left[ -\frac{16}{3},0\right ]$$ Yani $a=-5,-4,-3,-2,-1,0$ olabilir. Bu değerler için denklem sisteminin gerçel sayılarda çözümü vardır.

$(b)$ Tam sayılar da gerçel sayılar olduğundan $a\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0\}$ olmalıdır. Bu sayıların hangisinde $\Delta=(8+a)^2-4(a^2+8a+16)=-3a^2-16a$'nın tamkare olduğuna bakmalıyız. $a=-4,0$ için tamkare olur. Bu değerler için de $(x,y)=(4,4)$ ve $(0,4),(4,0)$ çözümleri bulunur.

[geo]

Bu soru tipi Lise 1. Aşama 1995/19 ta sorulmuş.