Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?

[matematikolimpiyati]

Teorem [The College Mathematics Journal, 2004]: Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin Euler Doğrusu'nun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter koşul
$$\tan B \cdot \tan C =3$$
olmasıdır.

[alpercay]

Bu soru formda olmalı diye hatırlıyorum fakat göremedim.

[matematikolimpiyati]

Ben de biraz aradım ama bulamadım

[Lokman Gökçe]

Bu soruyu forumda çözmüştüm diye hatırlıyorum. Ben de bulamadım Trigonometri kullanmadığım aşağıdaki çözümüm biraz daha kısa ve zarif olabilir.


Çözüm: $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, ağırlık merkezi (centroid) $G$ olsun. $|AF|=3|GF|$ özelliği vardır. Ayrıca diklik merkezi özelliği olarak $|AD|\cdot |HD| = |BD|\cdot |CD|$ eşitliği geçerlidir. İspatı için Diklik merkezi-Problem 8 bağlantısına bakılabilir. Buna göre, $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{|AD|}{|BD|}\cdot \dfrac{|AD|}{|CD|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} $ olur. Ayrıca $GH$, $ABC$ üçgeninin Euler doğrusudur.

Dolayısıyla

$$ GH \parallel BC \iff \dfrac{|AF|}{|GF|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} \iff |AD| = 3|HD| \iff \tan B \cdot \tan C = 3 $$

elde edilir.

[matematikolimpiyati]

$\tan B \cdot \tan C$ ifadesini şöyle de bulabiliriz :

$H$ noktası diklik merkezi olduğu için $m(\widehat{B})=m(\widehat{DHC}) \implies \tan B \cdot \tan C = \dfrac{|CD|}{|HD|} \cdot \dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AD|}{|HD|}$

Benzer Soru

[alpercay]

Metin Can Aydemir'in bu sorunun çözümünde kullandığı koordinat sistemini gözönüne alalım. Euler doğrusunun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter şart  diklik merkezi $H$ noktasının  ve  çevrel çemberin merkezi  $O$ noktasının $BC$ kenarına olan uzaklıklarının eşit olmasıdır; yani $H\left(0,\frac{bc}{a}\right)$ ve $O\left(\frac{c-b}{2},\frac{a^2-bc}{2a}\right)$ noktalarının ordinatları eşit olmalıdır. Buna göre $$\dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2-bc}{2a}$$ eşitliğinden $$a^2=3bc$$ bulunur.
Bahsi geçen koordinat sisteminde $\tan B=\dfrac{a}{b}$  ve $\tan C=\dfrac{a}{c}$ olarak ifade edilebileceğinden  $$\tan B\cdot \tan C=\dfrac{a^2}{bc}=3$$ elde edilir.

Bunu kullanarak Euler doğrusu bir kenarına paralel olan üçgenleri de inşaa edebiliriz: Bunun için $BC$ kenarı üzerinde $|BD|=b$, $|CD|=c$ , $b\ne c$  olacak şekilde bir $D$ noktası alırız ve yükseklik ayağı $D$ olan $\sqrt{3bc}$ uzunluğundaki yüksekliği çizerek $A$ noktasını tespit ederiz. $b=c$ durumunda üçgen eşkenar üçgene dönüşür ve Euler doğrusu oluşmaz.