Karede Boyama

[NazifYILMAZ]

Bir karenin ayritlari ve köşegenleri  mavi yada kırmızı kullanarak boyanacaktir.
A) 2 si mavi 4  ü  kırmızı
B) 3 ü mavi 3 ü kırmızı
Olmak uzere kaç farklı şekilde boyama yapılabilir. (Donmeler sonucu olusan  şekiller  özdeş  kabul edilecektir.)

[Lokman Gökçe]

Bu haliyle kolayca

(A) $\dbinom{6}{2}\dbinom{4}{4} = 15$ ve
(B) $\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} = 20$ olur.

Eğer "Karenin merkezi etrafında döndürülmesi sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edilecek" denilseydi daha zor bir soru olurdu.

[NazifYILMAZ]

Dönmelerin özdeş olduğunu belirtmeyi unutmuşum Lokman hocam

[Lokman Gökçe]

Simetriler hesaba katılmadığında yanıtlar $15$ ve $20$ şeklinde küçük değerler olduğu için, simetri varken yanıtlar daha da küçük olacaktır. Bu sebeple, alt durumları birer birer çizmek uygun olacaktır.

(A) $4$ kırmızı, $2$ mavi renk kullanarak aşağıdaki gibi $5$ farklı desen elde edebiliyoruz:



Biraz analiz yapabiliriz. Simetrinin hesaba katılmadığı durumlarda $(A)$ deseni $1$ kez, $(B), (C), (E)$ desenleri $4$ er kez, $(D)$ deseni iki kez görüleceği için; simetrilerin özdeş alınmadığı durumların toplam sayısı $1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 1\cdot 2 = 15 $ olur. Bu da yukarıda verdiğimiz $\dbinom{6}{2}=15$ ile uyumludur.


(B) $3$ kırmızı, $3$ mavi renk kullanarak aşağıdaki gibi $6$ farklı desen elde edebiliyoruz:



Burada da biraz analiz yapabiliriz. Simetrinin hesaba katılmadığı durumlarda $(1), (2), (3), (6)$ desenleri $2$ şer kez, $(4), (5)$ desenleri $2$ şer kez görüleceği için; simetrilerin özdeş alınmadığı durumların toplam sayısı $ 4\cdot 4 + 2\cdot 2 = 20 $ olur. Bu da yukarıda verdiğimiz $\dbinom{6}{3} = 20$ ile uyumludur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Üç boyutlu hali farklı ve ilginç bir soru oluşturuyor. Simetriler aynı sayılmak üzere, üç boyutlu köşegenlere de izin verilirse,

- 24 kırmızı 2 mavi renk kullanılarak kaç farklı şekilde boyanabilir?