Gönderen Konu: Belirsiz Limitler  (Okunma sayısı 4420 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Belirsiz Limitler
« : Aralık 20, 2022, 04:08:02 ös »
Problem: $\displaystyle{\lim_{x\to 0^{-}} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^x}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$  \textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ e \qquad\textbf{d)}\ +\infty  \qquad\textbf{e)}\ \text{Limit yoktur} $

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Belirsiz Limitler
« Yanıtla #1 : Aralık 27, 2022, 05:51:04 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$


Çözüm: $\infty^{0}$ belirsizliği vardır. $ \displaystyle{ y= \lim_{x\to 0^{-}} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^x} $ dersek $\ln y = \displaystyle{  \lim_{x\to 0^{-}} x \cdot \ln \left (x-\dfrac{1}{x}\right) =  \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{\ln \left (x-\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}} }$ biçimindeki $\dfrac{\infty}{\infty}$ belirsizliğine dönüşür. L'hospital kuralını uygularsak,
$$ \ln y =  \displaystyle{  \lim_{x\to 0^{-}}  \dfrac{ \dfrac{1+\dfrac{1}{x^2} }{x-\dfrac{1}{x}}}{-\dfrac{1}{x^2}} } = \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{x(x^2 + 1)}{1-x^2} = 0 $$
olup $\ln y = 0 \implies y =e^0 = 1$ sonucuna ulaşılır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal