$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$

[alpercay]

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$ olacak şekildeki $a$  ve  $b$  rasyonel sayılarını bulunuz.

[geo]

$2a+2b\sqrt{5}= \sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}= \sqrt[3]{1^3 + 3\cdot 1^2\cdot \sqrt 5 + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt 5)^2+(\sqrt{5})^3} =  \sqrt[3]{(1+\sqrt 5)^3 } = 1 + \sqrt 5$
$a = b = \dfrac 12$

[alpercay]

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5}$  olacak şekilde $a$  ve  $b$ rasyonel sayıları bulunsun. Her iki yanın küpü alınıp düzenlemeler yapılarak  $$a^3+15ab^2=2$$   $$3a^2b+5b^3=1$$  $$a^3-10b^3+15ab^2-6a^2b=0$$ denklemleri elde edilir. Her iki yan   $b^3$ ile bölünürse $$(a/b)^3-6(a/b)^2+15(a/b)-10$$  ve   $\dfrac{a}{b}=x$  denirse $$x^3-6x^2+15x-10=(x-1)((x^2-5x+10)=0$$ elde edilir. Denklemin reel kökü $x=1$ olacağından $$\dfrac{a}{b}=1$$ olmalıdır, yani $a=b$ dir. Buna göre $$16a^3=2$$ ve $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

Benzer olarak $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a-b\sqrt{5}$ eşitliği çözülseydi yine $a=b=\dfrac{1}{2}$ bulunurdu.