Üçgende Yükseklikler ve Diklik Merkezi Üzerine Bir Çalışma

[Lokman Gökçe]

Bu çalışmayı incelemem için bana Tarık Taşpınar bey gönderdi. Kendisinin amatör olarak yaptığı çalışmaları vardı. Bunlar arasından daha önce keşfedilmiş ifadeler de var. Bir yerde görmemiş olsam da kolayca ulaşılabilen özellikler de var. Bir emek harcanmış ve emeğin yok olmaması için forum üzerinden matematikseverlere sunmak uygun olur diye düşündüm. Daha önce bulunanlara farklı yöntemlerle yeniden ulaşmak da değerlidir. Çalışmaya göz attım ve bazı değerlendirmelerim oldu. Bunları yazılı olarak bu sayfada sunabilirim. Çalışmada geçen ve bizim bildiğimiz bağıntıları kaynak (kitap, web sayfası vs) belirterek ekleme yapabiliriz. Burada sunulandan daha kısa şekilde elde ettiğimiz eşitlikler olabilir, bunları da yazıp sunabiliriz. 14 sayfalık belgeyi pdf formatında ekledim. Ayrıca, okunabilirlik açısından ekran görüntüsü alarak içeriği tekrar buraya ekledim. İyi çalışmalar.

[Lokman Gökçe]

İçeriğin resimleri, sayfalar 1-7

[Lokman Gökçe]

İçeriğin resimleri, sayfalar 8-14

[Lokman Gökçe]

Sayfa 1-2'de ispatı verilen benzerlikler için kısa bir çözüm verebilirim. Aynı harfleri kullanarak devam edeceğim.

$YDHK$ bir paralelkenar olduğundan, $KYD \cong DKH$ (açı-kenar-açı) eşliği vardır. $DJ \perp AB$ olduğundan, $AJYL$ bir kirişler dörtgenidir. $\angle DYK = \angle JAL$ olur.

$BDKG$ bir kirişler dörtgeni ve $DJ \parallel KG$ olduğundan $\angle YDK = \angle GKA = \angle GBD$ olur.

Böylece, $ABC \sim YDK $ (açı-açı benzerliği) elde edilir. Eşlenmiş açıların karşısında bulunan kenar uzunluklarının oranından, benzerlik oranını $\dfrac{|KD|}{|BC|}$ biçiminde yazabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Sayfa 3-4'de verilen eşitliklere göz attığımda, kısa ve başarılı biçimde elde edilmiş olduğunu görüyorum. İlk 4 sayfadaki eşitlikler kolay olmakla beraber, bir kaynakta gördüğümü hatırlamıyorum.

Sayfa 3-4 deki eşitlikler için, bir başka çözüm yöntemi verebilirim. Harflendirmeleri aynı biçimde kullanacağım.



$KDCL$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle KLD = \angle KCD$ dir. Ayrıca $\angle LBD = \angle KBC$ olduğundan $KBC \sim DBL$ olur. Benzer biçimde, $BDKG$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle KGD = \angle KBD$ dir. $\angle GCB = \angle KCB$ olduğundan $KBC \sim DGC$ dir. Böylece $KBC \sim DBL  \sim DGC$ benzerlikleri elde edilir. Eşlenmiş kenar ve yüksekliklerin oranlarını yazarsak $$ \dfrac{|KD|}{|BC|} = \dfrac{|ED|}{|BL|} = \dfrac{|FD|}{|GC|}$$
orantısına ulaşılır. Bu oranlardan $$ |BC| = \dfrac{|KD|\cdot |BL|}{|ED|} \quad , \quad |BC| = \dfrac{|KD|\cdot |GC|}{|FD|} $$
eşitlikleri de yazılabilir. $|AB|, |AC|$ kenarları için de benzer eşitlikler yazılabilir.